I oppgåve 2.21 frå Sigma R2 har fått same svar som fasiten på a, b og c. I oppgåve d får eg 30 grader, men fasiten sier 50 grader. Det kan vel ikkje vere riktig. sjå oppgæve nedanfor
Oppgåve 2.21
Eit plan α går gjennom (1, 3, 1) og er parallelt med vektorane u ⃗ = [1, 2, 3] og v ⃗ = [2, 1, 1].
a) set opp likninga for α.
Planet α går gjennom P_0 (x_0, y_0, z_0).
Normal vektoren er n ⃗ = [a, b, c]
(n_α ) ⃗ = u ⃗ x v ⃗
(_2^1) _( 1)^( 2) 〖⤨ 〗_( 1 )^( 3) 〖⤨ 〗_( 2)^( 1) 〖⤨ 〗_( 1)^( 2) 〖 〗_( 1)^( 3)
[(2 · 1 – 1 · 3), (3 · 2 – 1 · 1, 1 · 1 – 2 · 2] = [(2 – 3), (6 - 1), (2 - 4] = [ - 1, 5, - 3]
Planet går gjennom (1, 3, 1). Likningsframstillinga gir no
- 1 (x – 1) + 5 (y – 3) + (- 3) (z - 1 = 0
- x + 1 + 5y – 15 - 3z + 3 = 0
- x + 5y - 3z - 11 = 0 │· ( - 1)
x – 5y + 3z + 11 = 0
b) Linja l: [1 + t., 2 + t, - t] skjer α. Finn skjeringspunktet.
Set inn verdiane for linja l i likninga til α.
x – 5y + 3z + 11 = 0
1(1 + t) – 5(2 + t) + 3(- t) + 11 = 0
1 + t - 10 - 5t - 3t + 11 = 0
t - 5t - 3t + 1 - 10 + 11 = 0
t - 8t + 12 – 10 = 0
- 7t + 2 = 0
7t = 2
t = 2/7
Skjeringspunktet:
(1 + t., 2 + t, - t) = (1 + 2/7.,2 + 2/7,- 2/7) = (7/7 + 2/7,14/7 + 2/7,- 2/7) = (9/7,16/7,- 2/7)
c) Finn vinkelen mellom l og α.
Vektorane til l: (v_l ) ⃗ = [1, 1, - 1]
Vektorane til α: (n_α ) ⃗ = [ -1, 5, - 3]
(v_l ) ⃗ · (n_α ) ⃗ = [1, 1, - 1] · [ - 1, 5, - 3] = (1 ·(-1)+1 ·5+( -1) ·( -3)) = ( - 1 + 5 + 3) = 7
|(v_l ) ⃗ | = √(1^2+ 1^2+〖( - 1)〗^2 ) = √(1+1+1) = √3
|(n_α ) ⃗ | = √(〖(- 1)〗^2+ 5^2+〖( -3)〗^2 ) = √(1+25+9) = √35
cos ∠ ((v_l ) ⃗, (n_α ) ⃗) = ((n_l ) ⃗ · (n_α ) ⃗ )/(|(n_i ) ⃗ | · |(n_α ) ⃗ | ) = 7/(√3 · √35) = 7/(√105 ) ≈ 0,6831
Vi finn cos ∠ ((v_l ) ⃗, (n_α ) ⃗):
cos - 1 (0,6831) ≈ 46,91°
Vi får ∠ (l, α) = 90° - 46,9°
∠ (l, α) = 43,1°
d) Finn vinkelen mellom α og β når β er gitt ved β: x + 3y – z + 4 = 0
(n_β ) ⃗ = [1, 3, - 1]
(n_α ) ⃗ = [ -1, 5, - 3]
(n_β ) ⃗ · (n_α ) ⃗ = [1, 3, - 1] · [ - 1, 5, - 3] = (1 ·(-1)+3·5+( -1)·( -3)) = ( - 1 + 15 + 3) =17
|(n_β ) ⃗ | = √(1^2+ 3^2+〖( - 1)〗^2 ) = √(1+9+1) = √11
|(n_α ) ⃗ | = √(〖(- 1)〗^2+ 5^2+〖( -3)〗^2 ) = √(1+25+9) = √35
cos ∠ ((n_β ) ⃗,(n_α ) ⃗) = ((n_β ) ⃗ · (n_α ) ⃗ )/(|(n_β ) ⃗ | · |(n_α ) ⃗ | ) = 17/(√11 · √35) = 17/(√385 ) ≈ 0,8664
Vi finn cos ∠ ((n_β ) ⃗,(n_α ) ⃗):
cos - 1 (0,8664) ≈ 29,96°
∠ (β, α) = 30°
I oppgåve 2.22 Sigma R2 får eg same svar som fasiten i a og b, men i oppgåve c er eg usikker korleis eg skal løyse.
Korleis skal ein få r ⃗ ∥ α ⃗ ⇔ r ⃗ x α ⃗ = 0 ⃗ i første del og andre del r ⃗ ⊥ (n_α ) ⃗. ⇔ r ⃗ · (n_α ) ⃗. = 0
Kvifor er retningsvektoren r ⃗ lik normalvektoren er ikkje den [1, 2, - 3]
jå oppgåve nedanfor.
Oppgåve 2.22
Planet α er gitt ved likninga
α: x +2y – 3z + 5 = 0
a) Skriv likninga for eit plan β som går gjennom origo og er parallell med α.
Planet β går gjennom P_0 (x_0, y_0, z_0)
Normal vektoren er n ⃗ = [a, b, c]
Ei likningsframstilling for β:
a (x - x_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0
Planet β går gjennom (0, 0, 0)
Normal vektoren er (n_α ) ⃗ = [1, 2, - 3]
Ei likningsframstilling for β:
1(x - 0) + 2(y - 0) - 3(z - 0) = 0
x + 2y – 3z = 0
b) Skriv likninga for eit plan γ som går gjennom (2, 4, 2) og er parallell med α.
Planet γ går gjennom (2, 4, 2)
Normal vektoren er (n_α ) ⃗ = [1, 2, - 3]
Ei likningsframstilling for γ:
1(x - 2) + 2(y - 4) - 3(z - 2) = 0
x - 2 + 2y - 8 - 3z + 6 = 0
x + 2y - 3z - 2 - 8 + 6 = 0
x + 2y - 3z - 4 = 0
c) Forklar at r ⃗ = [1, 1, 1] er parallell med α. Skriv likninga for eit plan som går gjennom
(1, 1, 1) og står vinkelrett på α.
Når r ⃗ = [1, 1, 1] er parallell med α har vi at:
r ⃗ ∥ α ⃗ ⇔ r ⃗ x α ⃗ = 0 ⃗
Når retningsvektoren r ⃗ = [1, 1, 1] står vinkelrett på planet α vil retningsvektoren r ⃗ vere lik normalvektoren (n_α ) ⃗. Vi har då r ⃗ = [1, 1, 1] = (n_α ) ⃗
r ⃗ ⊥ (n_α ) ⃗. ⇔ r ⃗ · (n_α ) ⃗. = 0
r ⃗ · (n_α ) ⃗ = [1, 1, 1] · [1, 2, - 3] = (1 ·1+1·2+1·( -3)) = ( 1 + 2 - 3) = 0
Likninga blir då:
Planet går gjennom (0, 0, 0)
Normal vektoren er n ⃗ = [1, 1, 1]
Ei likningsframstilling for planet:
1(x – 1) + 1(y – 1) + 1(z – 1) = 0
x - 1 + y - 1 + z - 1 = 0
x + y + z - 3 = 0
vektorar
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Under spørsmål c kommer du frem til korrekt likning for planet, men jeg stusser litt på begrunnelsen. Du skriver:
"Når r ⃗ = [1, 1, 1] er parallell med α har vi at:
r ⃗ ∥ α ⃗ ⇔ r ⃗ x α ⃗ = 0 ⃗ "
Her står α for planet α : $ x + 2y - 3z + 5 $, men hva skal α ⃗ bety? Det kan ikke være normalvektoren til planet α, for den kaller du "normalvektoren (n_α ) ⃗". Og planet α er ingen vektor slik at uttrykket r ⃗ x α ⃗ = 0 ⃗ " er vanskelig å tolke men, det som vel er ment er at kryssproduktet mellom to parallelle vektorer er null-vektoren. Men r ⃗ er parallell med planet a og står derfor , som du riktig påpeker nedenfor, normalt på normalvektoren til a.
Det planet oppgaven etterspør, er det som går gjennnom punktet (1,1,1) og som står normalt på a. Siden r ⃗ = [1, 1, 1] er parallell med a må denne vektoren stå normalt på α´s normalvektor og dermed være det etterspurte planets normalvektor. Det gir likningen $[x-1,y-1,z-1]\cdot[1,1,1] = 0$ og dermed $x + y + z -3 = 0$
"Når r ⃗ = [1, 1, 1] er parallell med α har vi at:
r ⃗ ∥ α ⃗ ⇔ r ⃗ x α ⃗ = 0 ⃗ "
Her står α for planet α : $ x + 2y - 3z + 5 $, men hva skal α ⃗ bety? Det kan ikke være normalvektoren til planet α, for den kaller du "normalvektoren (n_α ) ⃗". Og planet α er ingen vektor slik at uttrykket r ⃗ x α ⃗ = 0 ⃗ " er vanskelig å tolke men, det som vel er ment er at kryssproduktet mellom to parallelle vektorer er null-vektoren. Men r ⃗ er parallell med planet a og står derfor , som du riktig påpeker nedenfor, normalt på normalvektoren til a.
Det planet oppgaven etterspør, er det som går gjennnom punktet (1,1,1) og som står normalt på a. Siden r ⃗ = [1, 1, 1] er parallell med a må denne vektoren stå normalt på α´s normalvektor og dermed være det etterspurte planets normalvektor. Det gir likningen $[x-1,y-1,z-1]\cdot[1,1,1] = 0$ og dermed $x + y + z -3 = 0$
-
- Abel
- Innlegg: 637
- Registrert: 11/11-2019 18:23
Hei,
Oppg 2.21
Du har gjort alt rett! d) Vinkelen er 30 grader. Fasit er feil.
Oppg 2.22
Retningsvektoren for det siste planet er ikke lik n[tex]\alpha[/tex]. Den er n[tex]\delta[/tex] = (1, 1, 1) som du da også har brukt.
Siden de to planene skal stå vinkelrett på hverandre, er n[tex]\alpha[/tex] * n[tex]\delta[/tex] = (1, 2, -3) * (1, 1, 1) = 1 + 2 - 3 = 0, hvilket du også har vist.
Du har kommet frem til riktig [tex]\delta[/tex] : x + y + z - 3 = 0
siden planet går gjennom P(1, 1, 1)
Se vedlegg for visualisering
Oppg 2.21
Du har gjort alt rett! d) Vinkelen er 30 grader. Fasit er feil.
Oppg 2.22
Retningsvektoren for det siste planet er ikke lik n[tex]\alpha[/tex]. Den er n[tex]\delta[/tex] = (1, 1, 1) som du da også har brukt.
Siden de to planene skal stå vinkelrett på hverandre, er n[tex]\alpha[/tex] * n[tex]\delta[/tex] = (1, 2, -3) * (1, 1, 1) = 1 + 2 - 3 = 0, hvilket du også har vist.
Du har kommet frem til riktig [tex]\delta[/tex] : x + y + z - 3 = 0
siden planet går gjennom P(1, 1, 1)
Se vedlegg for visualisering
- Vedlegg
-
- 2.22.odt
- (82.78 kiB) Lastet ned 143 ganger