Kronblader

[Kronblader]

La n være et positivt heltall. Kurven Cn har i polarkoordinater ligning

r =sqrt(|sin(nθ)|), 0 ≤ θ ≤ 2π.

Hvor mange kronblader har kurven Cn? Svaret skal begrunnes. Regn ut arealet av området
begrenset av Cn.

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven? Forsøkte å finne integralet til et blad for så å gange med n. Opphevet uttrykket i annen, og integrerte, men usikker på hvilke grenser jeg skal bruke og om dette er riktig måte å løse oppgaven på. Prøvde meg med 0 til pi/4, men mulig det skal være pi/n?

[Kristian Saug]

Hei,

[tex]r(\theta )=\sqrt{\begin{vmatrix} sin(n\theta ) \end{vmatrix}}[/tex]
[tex]0<\theta <2\pi[/tex]

Nullpunkter:
[tex]r(\theta )=0[/tex]
[tex]sin(n\theta )=0[/tex]
[tex]n\theta =k\pi[/tex]
[tex]\theta =\frac{k\pi }{n}[/tex]
Første nullpunkt har vi for [tex]k=0[/tex], altså [tex]\theta =0[/tex]
Videre har vi nullpunkter for [tex]\theta[/tex] opp til [tex]2\pi[/tex]
Disse vil utgjøre [tex]k = \frac{2\pi n}{\pi } = 2n[/tex] nullpunkter
Således får vi [tex]2n+1[/tex] nullpunkter
og dermed har kurven Cn [tex]2n[/tex] kronblader

Videre får vi at arealet av området begrenset av Cn blir
[tex]A(n) = 2n \int_{0}^{\frac{\pi }{n}}\begin{vmatrix} \sqrt{sin(nθ)} \end{vmatrix}\approx 4,8[/tex] (uavhengig av n)
Integralet er komplisert og jeg overlater utregningen til noen med høyere kompetanse enn meg.

Men vedlagt er en visualisering av kurven.