Kontinuerlig

[Mattetaper]

Hei

Jeg har en innlevering jeg prøver å få gjort ferdig, men kommer ikke videre fra denne oppgaven.

Finnes det et tall c slik at funksjonen
f(x, y) = (2xy + x^4)/(x^2 + y^2) (x, y) ikke= (0, 0)
= c (x, y) = (0, 0)
er kontinuerlig?



Takk for all hjelp!

[DennisChristensen]

Hei

Jeg har en innlevering jeg prøver å få gjort ferdig, men kommer ikke videre fra denne oppgaven.

Finnes det et tall c slik at funksjonen
f(x, y) = (2xy + x^4)/(x^2 + y^2) (x, y) ikke= (0, 0)
= c (x, y) = (0, 0)
er kontinuerlig?



Takk for all hjelp!

Bruk polarkoordinater, så $x = r\cos\theta$ og $y = r\sin\theta$. Da får vi at
$$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y) = \lim_{r\rightarrow 0}\frac{2r^2\cos\theta\sin\theta + r^4\cos^4\theta}{r^2} = \lim_{r\rightarrow 0}\left(\sin(2\theta) + r^2\cos^4\theta\right) = \sin(2\theta),$$
så grenseverdien til $f$ i origo er avhengig av vinkelen $\theta$. Dermed vil aldri $f$ kunne være kontinuerlig i origo, uansett hvilken $c$ vi velger.