vektorer, parameterfremstilling, skjæringspunkt

[Marcus05]

Sitter bom fast med denne oppgaven. Hadde vært veldig fint om noen kunne vist utregning og forklare litt.

Oppgaven:
25)
To skip er på kryssende kurs. Ved tiden t=0 er det ene skipet i punktet (0, 4), og det andre skipet i punktet (39, 14) (alle avstander er målt i nautiske mil). Det første skipet beveger seg parallelt med vektoren (3, 4) med en fart av 15 knop (1 knop= 1 nautisk mil per time). Det andre skipet bever seg parallelt med vektoren (-12, 5) med en fart av 13 knop.

a) Hvor vil kursene krysse hverandre?

b) Vil skipene kollidere?

Fasit:
a) (15, 24)
b) skipene kolliderer ikke

[Kristian Saug]

Hei,

Vi kaller skipene [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex].

For skipet A's retning: [tex]tan(\alpha )=\frac{4}{3}\rightarrow \alpha =0,9273[/tex]

For skipet B's retning: [tex]tan(\beta )=\frac{5}{-12}\rightarrow \beta =2,7468[/tex]

Dermed blir deres "vandring" disse (med hastighetene [tex]15[/tex] og [tex]13[/tex]):

[tex]rA(t)=\begin{bmatrix}15t*cos(\alpha ), 4+15t*sin(\alpha ) \end{bmatrix}[/tex]

[tex]rB(t)=\begin{bmatrix} 39+13t*cos(\beta ), 14+13t*sin(\beta ) \end{bmatrix}[/tex]

a)
Ved å sette disse to uttrykkene opp mot hverandre, fås krysningspunktet [tex]S(15,24)[/tex]
Skipene krysser hverandre i posisjonen [tex](15,24)[/tex]

b)
Ved å sette [tex]rB(t)=(15,24)[/tex], fås [tex]t=2[/tex]
Videre får vi at båt [tex]A[/tex] da befinner seg på posisjon [tex]rA(2)=(18,28)[/tex], og altså i en annen posisjon!
Skipene vil ikke kollidere.


Se vedleggene, der også animasjon av skipenes posisjoner fremgår.

[Marcus05]

Tusen takk!

[Mattebruker]

Alternativ løysing:

[tex]\overrightarrow{A(t)}[/tex] = [ 0 , 4 ] + t [tex]\cdot[/tex][ 3 , 4 ] = [ 3 t , 4 t + 4 ]

[tex]\overrightarrow{B( t )}[/tex] = [ 39 , 14 ] + s [-12 , 5 ] = [ 39 - 12s , 14 + 5 s ]

[tex]\overrightarrow{A(t)}[/tex] og [tex]\overrightarrow{B(t)}[/tex] kryssar kvarandre når

3 t = 39 - 12s [tex]\wedge[/tex] 4 t + 4 = 14 + 5 s

Dette likn. settet har løysinga t = 5 [tex]\wedge[/tex] s = 2

s = 2 gir [tex]\overrightarrow{B(2)}[/tex] [39 - 12 [tex]\cdot[/tex]2 , 14 + 5 [tex]\cdot[/tex] 2 ] = [ 15 , 24 ]

Svar: Fartøya kryssar kvarandre i posisjon ( 15 , 24 ).

Fartøya vil ikkje kollidere ettersom dei passerer den kritiske posisjonen på ulike tidspunkt:
Fartøy B passerer etter 2 timar og A først etter 5 timar.

[Kristian Saug]

Alternativ løysing:

[tex]\overrightarrow{A(t)}[/tex] = [ 0 , 4 ] + t [tex]\cdot[/tex][ 3 , 4 ] = [ 3 t , 4 t + 4 ]

[tex]\overrightarrow{B( t )}[/tex] = [ 39 , 14 ] + s [-12 , 5 ] = [ 39 - 12s , 14 + 5 s ]

[tex]\overrightarrow{A(t)}[/tex] og [tex]\overrightarrow{B(t)}[/tex] kryssar kvarandre når

3 t = 39 - 12s [tex]\wedge[/tex] 4 t + 4 = 14 + 5 s

Dette likn. settet har løysinga t = 5 [tex]\wedge[/tex] s = 2

s = 2 gir [tex]\overrightarrow{B(2)}[/tex] [39 - 12 [tex]\cdot[/tex]2 , 14 + 5 [tex]\cdot[/tex] 2 ] = [ 15 , 24 ]

Svar: Fartøya kryssar kvarandre i posisjon ( 15 , 24 ).

Fartøya vil ikkje kollidere ettersom dei passerer den kritiske posisjonen på ulike tidspunkt:
Fartøy B passerer etter 2 timar og A først etter 5 timar.

Krysningsposisjonen din er riktig. Men de er mye nærmere å kollidere enn det du har kommet frem til. Skipene er nærmest hverandre etter 1,82 timer. Da er avstanden 2,85 nautiske mil.
Du har heller ikke tatt hensyn til at skipene har forskjellige hastigheter.

Se mitt tidligere innlegg med to vedlegg.

[Mattebruker]

Takk for kommentar ! Ser no at fartsvektor til A = 3 [tex]\cdot[/tex][ 3 , 4 ] = [ 9 , 12 ] som gir [tex]\left | [9 , 12] \right |[/tex] = 15 ( jamfør oppgavetekst ). Denne infoen gir likn. settet

9t = 39 - 12s [tex]\wedge[/tex] 12t + 4 = 14 + 5s

Løysing: s = 2 [tex]\wedge[/tex] t = [tex]\frac{5}{3}[/tex]

Svar: A passerer kryssingspunktet etter 1 time og 40 minutt , B 20 minutt seinare ( høyrest dette greitt ut ? )

[Kristian Saug]

Takk for kommentar ! Ser no at fartsvektor til A = 3 [tex]\cdot[/tex][ 3 , 4 ] = [ 9 , 12 ] som gir [tex]\left | [9 , 12] \right |[/tex] = 15 ( jamfør oppgavetekst ). Denne infoen gir likn. settet

9t = 39 - 12s [tex]\wedge[/tex] 12t + 4 = 14 + 5s

Løysing: s = 2 [tex]\wedge[/tex] t = [tex]\frac{5}{3}[/tex]

Svar: A passerer kryssingspunktet etter 1 time og 40 minutt , B 20 minutt seinare ( høyrest dette greitt ut ? )

Det er helt korrekt!