Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Kan noen forklare kort hvordan man tenker her for å sette opp dette integralet?
jeg prøvde på noe greier og fikk r=+/- sqrt(-z^2+1) +2 , Ø går nok fra 0 til 2*pi som den vanligvis gjør. Men hva blir grensene til z? når jeg løser ulikheten for z får jeg z=+/- sqrt(-r^2+4*r-3)
men tror ikke jeg finner grensene til r og z på riktig måte
grensa til r: 1<r<3 (setter z=3-r i likning og løser for r)
z=3-r , så med innsatte verdier av r fra over har vi følgende grenser for z: 0<z<2 ?
du skriver at det blir en smultring, og det stemmer vel med grensene for r jeg har fått. Smultring er en ring, så teta går fra 0 til 2pi.
Det neste jeg er usikker på er hva som blir integranden. Løser jeg bare den oppgitte likningen lik 0, og setter inn for z?
s.a integranden blir ( (r-2)^2 + (3-r)^2 -1) *r
Har eit par kommentarar til integralet( volumet ) oppgåva spør etter:
1) "Smultringen" er symmetrisk om xy-planet. Difor er det tilstrekkeleg å rekne ut volumet av den delen som ligg over
xy-planet.
2) Innsendar skriv i innlegget sitt at 1 [tex]\leq[/tex] r [tex]\leq[/tex] 3. Hugs at dette gjeld berre for den delen av
" smultringen " som ligg i xy-planet ( z = 0 ). I det allmenne tilfellet får vi
2 - [tex]\sqrt{1 - z^{2}}[/tex] [tex]\leq[/tex] r [tex]\leqslant[/tex] 2 + [tex]\sqrt{1 - z^{2}}[/tex]
3) z går eigentleg frå -1 til +1. Men sidan vi har symmetri om xy-planet, let vi z gå frå 0 til +1.
4) Minner elles om at volumelentet dV = r dr dz d[tex]\theta[/tex] ( gjeld berre for sylinderkoordinatar )
Romfiguren får da volumet
V = [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex] [tex]\int_{0}^{1}[/tex] [tex]\int_{2 - \sqrt{1 - z^{2}}}^{2 + \sqrt{1- z^{2}}}[/tex]( ( r - 2 )[tex]^{2}[/tex] + z[tex]^{2}[/tex] ) r dr dz d[tex]\theta[/tex]
Dette ser ut til å bli eit " stygt " integral. Kan truleg forenkle reknearbeidet ved å innføre ein ny variabel ( sett r - 2 = u )
Dersom Dizzy les dette innlegget , må du gjerne kommentere ovanståande løysingforslag.
Men akkurat no er det sengetid for Mattegjest. Ha ei god natt !
Har prøvd å løyse integralet eg presenterte seint i går kveld( gløymde faktor 2 for å få med volumet som ligg under xy-planet )
Innfører variabelskifte ( r - 2 = u ) og endar opp med
etter å ha utføret integrasjonen over det aktuelle u-området ( -[tex]\sqrt{1 - z^{2}}[/tex] [tex]\leq[/tex] u [tex]\leq[/tex] [tex]\sqrt{1 - z^{2}}[/tex] ).
Har studert løysinga til Dizzy. Han startar med å integrere z-variablen over det aktuelle z-området
( [tex]-\sqrt{4r - r^{2} -3} \leq[/tex] z [tex]\leq[/tex] [tex]\sqrt{4r - r^{2} -3}[/tex] ) der ein " frys " r
innafor intervallet ( 1 [tex]\leq[/tex] r [tex]\leq[/tex] 3 ) . Deretter summerer han opp alle " z-delsummane " ved å integrere
desse over det tillatne r-området ( 1 [tex]\leq[/tex] r [tex]\leq[/tex] 3 ) . Mattegjest har i prinsippet brukt same framgangsmåten , berre med den forskjell at eg har utført integrasjonane i motsett rekkefølge ( jamfør mitt forrige innlegg
på denne tråden ). Likevel kjem vi ut med ulike svar: Dizzy ( 4[tex]\pi[/tex][tex]^{2}[/tex] ) , medan Mattegjest
landar på ( 2[tex]\pi[/tex][tex]^{2}[/tex] ). Dei to utrekningsmåtane burde ( sjølvsagt ) gi eitt og same svar. Derfor
lurer eg på: Kvar ligg feilen ?
