Nokon som kan hjelpe
Pyramiden med grunnflata ABC og toppunktet D over xy-planet blir dreidd ein spiss vinkel om AB slik at grunnflata fell i
xy-planet.
d) Forklar kvifor hjørnet C flytter seg i planet β når vi dreier. Finn koordinatane til dette hjørnet etter dreiinga. Kva blir no z-koordinaten til toppunktet.?
Oppgåve 2.144 Sigma R 2 2015
Har fått til alt frem til deloppgåve d)
Her står eg fast klarer ikkje sjå korleis eg skal kobinere tidlegare svar for å løyse denne d).
Sjå løysingane av oppgåva nedanfor fram til d)
Eit plan α er gitt ved likninga
3x + 4y + 12z = 12
Planet skjer x-aksen i A, y-aksen i B og z-aksen i C.
a) Vis at koordinatane til A er (4, 0, 0), og finn koordinatane til B og C. Rekn ut |(BC) ⃗ |.
Vis at arealet av trekanten ABC er lik 13/2. Fastset avstanden frå C til AB. Finn vinkelen mellom α og yz-planet.
Vis at koordinatane til A er (4, 0, 0), og finn koordinatane til B og C.
Skjeringa med x-aksen når y = z = 0
3x + 4y + 12z = 12
3x + 4 · 0 + 12 · 0 = 12
3x + 0 + 0 = 12
3x = 12
x = 12/3
x = 4
A (4, 0, 0)
Skjeringa med y-aksen når x = z = 0
3x + 4y + 12z = 12
3 · 0 + 4y + 12 · 0 = 12
0 + 4y + 0 = 12
4y = 12
y = 12/4
y = 3
B (0, 3, 0)
Skjeringa med z-aksen når x = y = 0
3x + 4y + 12z = 12
3 · 0 + 4 · 0 + 12z = 12
0 + 0 + 12z = 12
12z = 12
z = 12/12
z = 1
C (0, 0, 1)
Rekn ut |(BC) ⃗ |.
(BC) ⃗ = [0 – 0, 0 – 3, 1 - 0] = [0, - 3, 1]
|(BC) ⃗ | = |[0,- 3,1]| = √(0^2+(〖-3)〗^2+ 1^2 ) = √(0+9+1) = √10
Vis at arealet av trekanten ABC er lik 13/2.
(AB) ⃗ = [0 – 4, 3 – 0, 0 - 0] = [ - 4, 3, 0]
(AC) ⃗ = [0 – 4, 0 – 0, 1 - 0] = [ - 4, 0, 1]
α: 3x + 4y + 12z = 12
(n_α ) ⃗ = (AB) ⃗ x (AC) ⃗ = [ - 4, 3, 0] x [ - 4, 0, 1] = [3, 4, 12]
T = 1/2 · |(AB) ⃗ x (AC) ⃗ | =|[3,4,12]| = 1/2 · √(3^2+4^2+ 12^2 ) = √(9+16+144) = 1/2 · √169 = 13/2
Fastset avstanden frå C til AB.
Linja l mellom AB går gjennom punktet A (x_0, y_0, z_0) og har retningsvektoren
(fartsvektoren) (v_l ) ⃗ = [a, b, c]. Linja er gitt ved parameterframstillinga
l: {█(x=x_0+ at@y=y_0+bt @z=z_0+ct )┤
(v_l ) ⃗ = [a, b, c] = [ - 4, 3, 0]
A (x_0, y_0, z_0) = A (4, 0, 0)
l: {█(x=4-4t@y=3t @z=0 )┤
Punktet A ligg på l. Punktet C er eit punkt utanfor l, mens (v_l ) ⃗ er ein retningsvektor for l. Avstanden q frå punktet C til linja blir då:
(AC) ⃗ = [ - 4, 0, 1]
(AC) ⃗ x (v_l ) ⃗ = [ - 4, 0, 1] x [ - 4, 3, 0]
(_-4^(-4)) _( 3 )^( 0) 〖⤨ 〗_( 0)^( 1 ) 〖⤨ 〗_(-4)^(-4) 〖⤨ 〗_( 3 )^( 0) 〖 〗_( 0)^( 1)
[((0) · (0)) - (3) · (1)), (1) · (-4) - ((0) · (-4)), ((-4) · (3)) – ((-4) · (0))]
[(0 - 3), (- 4 - 0), (- 12 - 0)] = [ - 3 - 4 - 12] = [ - 3, - 4 , - 12]
q = |(AC) ⃗ x (v_l ) ⃗ |/|(v_l ) ⃗ | = |[ - 4,0,1] x [ - 4,3,0]|/|[ -4, 3, 0]| = (| [ -3,-4,-12|])/√(〖(-4)〗^2+3^2+ 0^2 ) = √(〖(-3)〗^2+〖(-4)〗^2+(〖*12)〗^2 )/√(16+9) = √(9+16+144)/√25 = √169/5 = 13/5
Finn vinkelen mellom α og yz-planet.
(r_x ) ⃗ = [1, 0, 0]
|(n_α ) ⃗ | = |[3,4,12]| = 13
|(r_x ) ⃗ | = |[1,0,0]| = √(1^2+ 0^2+ 0^2 ) = √(1+ 0+ 0) = √1 = 1
(n_α ) ⃗ · (r_x ) ⃗ = [3, 4, 12] · [1, 0, 0] = (3 · 1 + 4 · 0 + 12 · 0) = 3 + 0 + 0 = 3
cos ((n_α ) ⃗ , (r_x ) ⃗) = ((n_α ) ⃗ · (r_x ) ⃗)/(|(n_α ) ⃗ | · |(r_x ) ⃗ | ) = 3/(13 · 1) = 3/13 = 0,2308
cos – 1 (0,2308) = 76,66°
∠ ((n_α ) ⃗,(r_x ) ⃗ ⃗) =76,7°
Eit plan β omfattar z-aksen og står vinkelrett på α.
b) Finn ei likning for β. Vis at [3, 4, 0] er ein retningsvektor for skjeringslinja mellom β og
xy-planet. Finn koordinatane til skjeringspunktet E mellom AB og β.
(r_z ) ⃗ = [0, 0, 1], (n_α ) ⃗ [3,4,12}
(n_β ) ⃗ = (n_α ) ⃗ x (r_z ) ⃗ = [0, 0, 1] x [3, 4, 12]
(_3^0) _( 4 )^( 0) 〖⤨ 〗_( 12)^( 1 ) 〖⤨ 〗_( 3)^( 0) 〖⤨ 〗_( 4 )^( 0) 〖 〗_( 12)^( 1)
[((0) · (12)) - (4) · (1)), (1) · (3) - ((12) · (0)), ((0) · (4)) – ((3) · (0))]
[(0 - 4), (3 - 0), (0 - 0)] = [ - 4, 3, 0]
β: a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0
- 4(x – 0) + 3(y - 0) + 0(z – 0) = 0
- 4x + 3y + 0 = 0 │· (-1)
4x - 3y = 0
Vis at [3, 4, 0] er ein retningsvektor for skjeringslinja mellom β og xy-planet.
(n_β ) ⃗ = [ - 4, 3, 0, ], (r_xy ) ⃗ = [0, 0. 1]
(r_l ) ⃗ = (n_β ) ⃗ · (r_xy ) ⃗ = [ - 4, 3, 0] · [0, 0. 1]
(_0^(-4)) _( 0 )^( 3) 〖⤨ 〗_( 1)^( 0 ) 〖⤨ 〗_( 0)^(-4) 〖⤨ 〗_( 0 )^( 3) 〖 〗_( 1)^( 0)
[((3) · (1)) - (0) · (0)), (0) · (0) - ((1) · (-4)), ((-4) · (0)) – ((0) · (-3))]
[(3 - 0), (0 + 4), (0 - 0)] = [3, 4, 0]
Finn koordinatane til skjeringspunktet E mellom AB og β.
(r_AB ) ⃗ = [ - 4, 3, 0]
A (4, 0, 0)
β: 4x - 3y = 0
l: {█(x=4-4t@y=3t @z=0 )┤
Set inn koordinatverdiane frå parameterframstillinga til linja AB i likninga til planet β.
4x - 3y = 0
4(4 – 4t) – 3(3t) = 0
16 - 16t – 9t = 0
- 16t – 9t = - 16
25t = 16
t = 16/25
x = 4 – 4t y = 3t z = 0
x = 4 – 4 · 16/25 y = 3 · 16/25
x = 100/25 - 64/25 y = 48/25
x = - 36/25
E = (- 36/25,48/25,0)
Eit punkt D i yz-planet ligg like langt frå B som frå C. Avstanden mellom punkt D og α er 60/13.
(BD) ⃗ = [0 - 0, y - 3, z - 0] = [0, y – 3, z - 0]
(CD) ⃗ = [0, - 3, 1] = [0 – 0. y – 0, z - 1] = [0, y – 0, z - 1]
|(BD) ⃗ | = √(0^2+ 〖(y-3)〗^2+(〖z-0)〗^2 ) = √(〖(y-3)〗^2+(〖z-0)〗^2 ) = √(y^2-6y+9 +z^2 )
|(CD) ⃗ | = √(0^2+(〖y-0)〗^2+(〖z-1)〗^2 ) = √(〖(y-0)〗^2+(〖z-1)〗^2 ) = √(y^2+ z^2-2z+1)
|(BD) ⃗ | = |(CD) ⃗ |
√(y^2-6y+9 +z^2 ) = √(y^2+ z^2-2z+1)
y^2-6y+9 +z^2 = y^2+ z^2-2z+1
y^2- y^2-6y+9 +z^2 - z^2 + 2z – 1 = 0
- 6y + 2z + 9 – 1 = 0
6y = 2z + 8
y = (2z + 8)/6
y = (z + 4)/3
q = |ax_1 + by_1 + cz_1 + d|/√(a^2 + b^2 + c^2 ) = |60/13|
|3(0)+ 4y_1 + 12z_1- 12|/√(3^2 + 4^2 + 12^2 ) = |60/13|
(4y + 12z -12)/√169 = (4y + 12z -12)/13 = |60/13|
Avstanden har absolutt verdien, |60/13| og vi får difor to løysingar av D
4y + 12z – 12 = 60 4y + 12z – 12 = - 60
4y = 60 - 12z + 12 4y = - 60 - 12z + 12
4y = 72 – 12z 4y = - 48 – 12z
y = (72 - 12z)/4 y = (- 48 - 12z)/4
y = 18 – 3z y = - 12 – 3z
(z + 4)/3 = 18 – 3z │· 3 (z + 4)/3 = - 12 – 3z │· 3
2z + 4 = 54 – 9z z + 4 = - 36 – 9z
z + 9z = 54 - 4 z + 9z = - 36 - 4
10z = 50 20z = - 40
z = 50/10 z = (- 40)/10
z = 5 z = - 4
y = (z + 4)/3 y = (z + 4)/3
y = (5 + 4)/3 y = (- 4 + 4)/3
y = 9/3 y = 0/3
y = 3 y = 0
D_1 (0, 3, 5) D_2 (0, 0, - 4)
c) Rekn ut volumet av pyramiden ABCD. Finn koordinatane til D.
(AD_1 ) ⃗ = [0 - 4, 3 - 0, 5 - 0] = [ - 4, 3, 5]
(AD_2 ) ⃗ = [0 - 4, 0 - 0, - 4 - 0] = [ - 4, 0, - 4]
V_P = 1/6 · |((AB) ⃗ x (AC)) ⃗·(AD) ⃗ | = 1/6 ·|[3,4,12]·[ - 4,0,- 4]| = 1/6 ·|(3·(-4)+4·0+12·(-4)|
= 1/6 ·|( -12+0-48| = 1/6 ·|-60| = 1/6 ·60 = 10
V_P = 1/6 · |((AB) ⃗ x (AC)) ⃗·(AD) ⃗ | = 1/6 ·|[3,4,12]·[ - 4,3,5]| = 1/6 ·|(3·(-4)+4·3+12·5|
= 1/6 ·|( -12+12+60| = 1/6 ·|60| = 1/6 ·60 = 10
vektorar
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
geil
Gløymte og skrive det eg hadde gjort på d)
Punktet A av står fast på x-aksen. Plana står vinkelrett på kvarandre og
punktet c vil difor flytte seg langs z-aksen. Avstandane mellom A, B og C blir den same, C vil flytte seg langs z-aksen med avstanden punktet B ligg frå xy-planet, då AB skal ligg i xy-plant.
Punktet A av står fast på x-aksen. Plana står vinkelrett på kvarandre og
punktet c vil difor flytte seg langs z-aksen. Avstandane mellom A, B og C blir den same, C vil flytte seg langs z-aksen med avstanden punktet B ligg frå xy-planet, då AB skal ligg i xy-plant.
-
Mattebruker
Ser lett at punktet C( 0 , 0 , 1 ) ligg i planet [tex]\beta[/tex]: 4x - 3y = 0
Noterer vidare at omdreinngsaksen [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] = [ -4 , 3 , 0 ] er ein normalvektor til planet [tex]\beta[/tex]. Det betyr at punktet C ( som i utgangspunktet ligg i [tex]\beta[/tex] ) følgjer ei bane som ligg i dette
planet under heile dreieprosessen.
Brukar så info frå punkt a og b :
Avstanden frå C til AB = [tex]\frac{13}{5}[/tex]
[ 3 , 4 , 0 ] er retningsvektor for skj.linja mellom [tex]\beta[/tex] og xy-planet.
Planet [tex]\beta[/tex] skjer AB i punktet E( -[tex]\frac{36}{25}[/tex] , [tex]\frac{48}{25}[/tex] , 0 )
Finn C ( x , y , 0 ) etter dreiinga.
Innfører einingsvektor [tex]\overrightarrow{n}[/tex] = [tex]\frac{[3 , 4 ,0]}{\left | [3 , 4 , 0] \right |}[/tex] = [tex]\frac{1}{5}[/tex][3 , 4 , 0 ] = [[tex]\frac{3}{5}[/tex] , [tex]\frac{4}{5}[/tex] , 0 ]
Da er
[tex]\overrightarrow{OC}[/tex] = [tex]\overrightarrow{OE}[/tex] + [tex]\frac{13}{5}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\overrightarrow{n}[/tex]
Noterer vidare at omdreinngsaksen [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] = [ -4 , 3 , 0 ] er ein normalvektor til planet [tex]\beta[/tex]. Det betyr at punktet C ( som i utgangspunktet ligg i [tex]\beta[/tex] ) følgjer ei bane som ligg i dette
planet under heile dreieprosessen.
Brukar så info frå punkt a og b :
Avstanden frå C til AB = [tex]\frac{13}{5}[/tex]
[ 3 , 4 , 0 ] er retningsvektor for skj.linja mellom [tex]\beta[/tex] og xy-planet.
Planet [tex]\beta[/tex] skjer AB i punktet E( -[tex]\frac{36}{25}[/tex] , [tex]\frac{48}{25}[/tex] , 0 )
Finn C ( x , y , 0 ) etter dreiinga.
Innfører einingsvektor [tex]\overrightarrow{n}[/tex] = [tex]\frac{[3 , 4 ,0]}{\left | [3 , 4 , 0] \right |}[/tex] = [tex]\frac{1}{5}[/tex][3 , 4 , 0 ] = [[tex]\frac{3}{5}[/tex] , [tex]\frac{4}{5}[/tex] , 0 ]
Da er
[tex]\overrightarrow{OC}[/tex] = [tex]\overrightarrow{OE}[/tex] + [tex]\frac{13}{5}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\overrightarrow{n}[/tex]
-
geil
Hei!
Takk for svaret.
Forstår ikkje heilt korleis du kjem fram til dette
Innfører einingsvektor n⃗ = [3,4,0]/|[3,4,0]| = 1/5 · [3 , 4 , 0 ] = [35 , 45 , 0 ]
kva med det som står teljaren ?
nemnaren ser eg |[3,4,0]|√(3^2 + 4^2 + 0^2 ) = √25 = 5
Takk for svaret.
Forstår ikkje heilt korleis du kjem fram til dette
Innfører einingsvektor n⃗ = [3,4,0]/|[3,4,0]| = 1/5 · [3 , 4 , 0 ] = [35 , 45 , 0 ]
kva med det som står teljaren ?
nemnaren ser eg |[3,4,0]|√(3^2 + 4^2 + 0^2 ) = √25 = 5
-
Mattebruker
Teljaren [3 , 4 , 0 ] er retningsvektor til skjeringslinja mellom planet [tex]\beta[/tex] og xy-planet ( punktet C ligg på denne linja etter dreiinga ). Nemnaren [tex]\left | [3 , 4 , 0] \right |[/tex] er lengda(absoluttverdien ) av retningsvektor [3 , 4 , 0 ].
Retningsvektor [3 , 4 , 0 ] delt på [tex]\left | [3 , 4 , 0] \right |[/tex] blir dermed ein retningsvektor med lengde lik 1 , m.a.o. ein einingsvektor som er einsretta med [ 3 , 4 , 0 ]
Allmenn formel : Vektoren [tex]\overrightarrow{v}[/tex] har einingsvektor [tex]\overrightarrow{n}[/tex] = [tex]\frac{\overrightarrow{v}}{\left | \overrightarrow{v} \right |}[/tex]
Retningsvektor [3 , 4 , 0 ] delt på [tex]\left | [3 , 4 , 0] \right |[/tex] blir dermed ein retningsvektor med lengde lik 1 , m.a.o. ein einingsvektor som er einsretta med [ 3 , 4 , 0 ]
Allmenn formel : Vektoren [tex]\overrightarrow{v}[/tex] har einingsvektor [tex]\overrightarrow{n}[/tex] = [tex]\frac{\overrightarrow{v}}{\left | \overrightarrow{v} \right |}[/tex]
-
josi
Planet [tex]\beta[/tex] skjer AB i punktet E( -[tex]\frac{36}{25}[/tex] , [tex]\frac{48}{25}[/tex] , 0 )
Her har det sneket seg inn et uvelkomment minustegn. Skal være
Planet [tex]\beta[/tex] skjer AB i punktet E( [tex]\frac{36}{25}[/tex] , [tex]\frac{48}{25}[/tex] , 0 )
Finn C ( x , y , 0 ) etter dreiinga.
Innfører einingsvektor [tex]\overrightarrow{n}[/tex] = [tex]\frac{[3 , 4 ,0]}{\left | [3 , 4 , 0] \right |}[/tex] = [tex]\frac{1}{5}[/tex][3 , 4 , 0 ] = [[tex]\frac{3}{5}[/tex] , [tex]\frac{4}{5}[/tex] , 0 ]
Da er
[tex]\overrightarrow{OC}[/tex] = [tex]\overrightarrow{OE}[/tex] + [tex]\frac{13}{5}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\overrightarrow{n}[/tex]
Her skal det være - i stedet for +, altså:
[tex]\overrightarrow{OC}[/tex] = [tex]\overrightarrow{OE}[/tex] - [tex]\frac{13}{5}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\overrightarrow{n}[/tex]
Her har det sneket seg inn et uvelkomment minustegn. Skal være
Planet [tex]\beta[/tex] skjer AB i punktet E( [tex]\frac{36}{25}[/tex] , [tex]\frac{48}{25}[/tex] , 0 )
Finn C ( x , y , 0 ) etter dreiinga.
Innfører einingsvektor [tex]\overrightarrow{n}[/tex] = [tex]\frac{[3 , 4 ,0]}{\left | [3 , 4 , 0] \right |}[/tex] = [tex]\frac{1}{5}[/tex][3 , 4 , 0 ] = [[tex]\frac{3}{5}[/tex] , [tex]\frac{4}{5}[/tex] , 0 ]
Da er
[tex]\overrightarrow{OC}[/tex] = [tex]\overrightarrow{OE}[/tex] + [tex]\frac{13}{5}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\overrightarrow{n}[/tex]
Her skal det være - i stedet for +, altså:
[tex]\overrightarrow{OC}[/tex] = [tex]\overrightarrow{OE}[/tex] - [tex]\frac{13}{5}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\overrightarrow{n}[/tex]
-
josi
geil skrev:Gløymte og skrive det eg hadde gjort på d)
Punktet A av står fast på x-aksen. Plana står vinkelrett på kvarandre og
punktet c vil difor flytte seg langs z-aksen. Avstandane mellom A, B og C blir den same, C vil flytte seg langs z-aksen med avstanden punktet B ligg frå xy-planet, då AB skal ligg i xy-plant.
Dette er en ganske krevende oppgave. Du har grunn til å være fornøyd med hva du har gjort så langt. Når det gjelder det aller siste spørsmålet om $z$-koordinaten til toppunktet D etter dreiningen, finner vi først cosinus til dreiningsvinkelen $\theta$ mellom $xy$-planet og planet $\alpha$:
$cos\theta = \frac{\frac{12}{15}}{\frac{13}{15}} = \frac{12}{13}$.
$z$-koordinaten til toppunktet vil nå minke på grunn av dreiningen fra $5$ til $5 * cos(\theta) = 5 * \frac{12}{13} = \frac{60}{13}$.
-
geil
Hei!
Takk for hjelp
Treng litt meir forklaring:
Korleis kan ein bevise at C ligg i planet β,
Dette forstår eg ikkje
(OC) ⃗ = (OE) ⃗ + 13/5 n ⃗ ·
Takk for hjelp
Treng litt meir forklaring:
Korleis kan ein bevise at C ligg i planet β,
Dette forstår eg ikkje
(OC) ⃗ = (OE) ⃗ + 13/5 n ⃗ ·
-
josi
C har koordinatene $(0,0,1)$. Punktet er altså på z-aksen én enhet over xy-planet. $\beta$-planet har likningen $4x -3y = 0$, eller $ y = \frac 43 * x$. Dette planet står normalt på xy - planet og går gjennom origo. Z-aksen, og følgelig punktet C, ligger dermed i $ \beta$ - planet.geil skrev:Hei!
Takk for hjelp
Treng litt meir forklaring:
Korleis kan ein bevise at C ligg i planet β,
Dette forstår eg ikkje
(OC) ⃗ = (OE) ⃗ + 13/5 n ⃗ ·
-
Mattebruker
Josi har heilt rett når det gjeld retninga på einingsvektor [tex]\overrightarrow{e}[/tex] som fører frå punktet E til punktet C ( som no ligg i xy-planet ) . For å kome frå E til C må vi skifte pilretning på e-vektor( her er det viktig å merke seg at grunnflata ABC blir dreia ein spiss vinkel om AB ). Det gjer at punktet C plasserer seg til venstre for
AB i xy-planet. EC-vektor peikar såleis nedover mot venstre og får dermed negativ x-koordinat og negativ y-koordinat.
For å kome frå E til C må vi difor bruke einingsvektoren
e-vektor = -1 [ 3/5 , 4/5 ] = [ -3/5 , -4/5 ]
Beklagar at eg brukte n-vektor som symbol for einingsvektor ( e-vektor ) i mitt forrige innlegg. Det kan
skape forvirring ettersom n-vektor vert brukt som symbol for normalvektor.
Korleis vise at C ( opphaveleg posisjon ) ligg i planet beta ?
Da treng du berre setje inn koordinatane ( 0 , 0 , 1 ) i likninga for beta. Da ser vi at koordinatane x = y = 0 og z =1
passar inn i likninga 4x - 3y = 0. Dette viser at punktet C ligg i dette planet.
AB i xy-planet. EC-vektor peikar såleis nedover mot venstre og får dermed negativ x-koordinat og negativ y-koordinat.
For å kome frå E til C må vi difor bruke einingsvektoren
e-vektor = -1 [ 3/5 , 4/5 ] = [ -3/5 , -4/5 ]
Beklagar at eg brukte n-vektor som symbol for einingsvektor ( e-vektor ) i mitt forrige innlegg. Det kan
skape forvirring ettersom n-vektor vert brukt som symbol for normalvektor.
Korleis vise at C ( opphaveleg posisjon ) ligg i planet beta ?
Da treng du berre setje inn koordinatane ( 0 , 0 , 1 ) i likninga for beta. Da ser vi at koordinatane x = y = 0 og z =1
passar inn i likninga 4x - 3y = 0. Dette viser at punktet C ligg i dette planet.
-
geil
Takk igjen
Forstår forklaringa di i forhold retninga på e ⃗ på (EC) ⃗.
men ikkje korleis ein skal nytte dette og sette det opp og kva vektorar og tal som skal brukast.
Ein skal kome fram til z-verdien til nytt D punkt etter dreiing.
Både det nye punkt C og punkt E har z-verdi null dette forstår eg ikkje.
Ser ikkje korleis eg kan løyse dette.
Heile denne deloppgåva d) ligg langt over min forståing utan
dokka hjelp Takk!
Forstår forklaringa di i forhold retninga på e ⃗ på (EC) ⃗.
men ikkje korleis ein skal nytte dette og sette det opp og kva vektorar og tal som skal brukast.
Ein skal kome fram til z-verdien til nytt D punkt etter dreiing.
Både det nye punkt C og punkt E har z-verdi null dette forstår eg ikkje.
Ser ikkje korleis eg kan løyse dette.
Heile denne deloppgåva d) ligg langt over min forståing utan
dokka hjelp Takk!
-
Mattebruker
For å kome i mål med denne oppgåva , er det heilt avgjerande at vi greier å oppdage " linken " som eksisterer mellom dei ulike delspørsmåla:
Vi dreiar grunnflata ABC om AB ( ligg i xy-planet ) som er ein normalvektor til planet beta.
Da vil punktet C ( som startar i punktet (0 , 0 , 1) på z-aksen ) teikne ei krum bane. Denne er del av ein sirkel med
radius r = CE = avstanden frå C ned på AB = 13/5 ( utrekna under del a )
Fordi C følgjer planet beta , vil dette punktet ( etter dreiinga ) plassere seg på skjeringslinja mellom beta og xy-planet.
Denne linja har retningsvektor [ 3 , 4 , 0 ] ( jamfør info under del b )
Dersom vi plottar inn posisjonen til C i xy-planet ( dreiar ABC ein spiss vinkel om AB ) , ser vi at C ligg til venstre for dreieaksen( AB ) . CE-vektor peikar nedover mot venstre i xy-planet , dvs. denne vektoren har negativ x-koordinat og negativ y-koordinat. Sidan CE no ligg på skjeringslinja
mellom beta og xy-planet , blir retningsvektor
r-vektor = -1 * [3 , 4 , 0 ] = [-3 , -4 , 0 ] einsretta med EC-vektor.
Den tilhøyrande einingsvektoren e-vektor = [ - 3/5 , -4/5 , 0 ]
Da får vi OC-vektor = OE-vektor + EC-vektor = OE-vektor( utrekna under del b ) + 13/5 * e-vektor
Koordinatane til D etter dreiinga ?
Toppunktet D har avstanden 60/13 frå planet alfa " ekvivalent med " D har avstanden 60/13 frå grunnflata ABC
( ettersom ABC ligg i planet alfa ). Etter dreiinga ligg grunnflata ABC i xy-planet , og z-koordinaten til D = avstanden frå
D til xy-planet = avstanden frå D til grunnflata ABC = 60/13.
Vi dreiar grunnflata ABC om AB ( ligg i xy-planet ) som er ein normalvektor til planet beta.
Da vil punktet C ( som startar i punktet (0 , 0 , 1) på z-aksen ) teikne ei krum bane. Denne er del av ein sirkel med
radius r = CE = avstanden frå C ned på AB = 13/5 ( utrekna under del a )
Fordi C følgjer planet beta , vil dette punktet ( etter dreiinga ) plassere seg på skjeringslinja mellom beta og xy-planet.
Denne linja har retningsvektor [ 3 , 4 , 0 ] ( jamfør info under del b )
Dersom vi plottar inn posisjonen til C i xy-planet ( dreiar ABC ein spiss vinkel om AB ) , ser vi at C ligg til venstre for dreieaksen( AB ) . CE-vektor peikar nedover mot venstre i xy-planet , dvs. denne vektoren har negativ x-koordinat og negativ y-koordinat. Sidan CE no ligg på skjeringslinja
mellom beta og xy-planet , blir retningsvektor
r-vektor = -1 * [3 , 4 , 0 ] = [-3 , -4 , 0 ] einsretta med EC-vektor.
Den tilhøyrande einingsvektoren e-vektor = [ - 3/5 , -4/5 , 0 ]
Da får vi OC-vektor = OE-vektor + EC-vektor = OE-vektor( utrekna under del b ) + 13/5 * e-vektor
Koordinatane til D etter dreiinga ?
Toppunktet D har avstanden 60/13 frå planet alfa " ekvivalent med " D har avstanden 60/13 frå grunnflata ABC
( ettersom ABC ligg i planet alfa ). Etter dreiinga ligg grunnflata ABC i xy-planet , og z-koordinaten til D = avstanden frå
D til xy-planet = avstanden frå D til grunnflata ABC = 60/13.
-
Mattebruker
Punkt d : Alternativ løysing !
Skjeringslinja mellom planet [tex]\beta[/tex] og xy-planet har retningsvektor [ 3 , 4 , 0 ] ( jamfør info under del b )
Sidan EC no ligg på skjeringslinja , kan vi skrive [tex]\overrightarrow{EC}[/tex] = t [tex]\cdot[/tex] [ 3 , 4 , 0 ] = [3t , 4t , 0 ]
[tex]\left | \overrightarrow{EC} \right |[/tex] = [tex]\sqrt{(3t)^{2}) + (4t)^{2}}[/tex] = [tex]\left | 5t \right |[/tex] = 5[tex]\cdot[/tex] [tex]\left | t \right |[/tex]
Finn t
[tex]\left | \overrightarrow{EC} \right |[/tex] = [tex]\frac{13}{5}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] 5 t = [tex]\frac{13}{5}[/tex] eller 5 t = -[tex]\frac{13}{5}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] t = [tex]\frac{13}{25}[/tex]( uinteressant ) eller t = -[tex]\frac{13}{25}[/tex]
[tex]\overrightarrow{EC}[/tex] = - [tex]\frac{13}{25}[/tex][tex]\cdot[/tex][3 , 4 , 0 ] = [-[tex]\frac{39}{25}[/tex], -[tex]\frac{52}{25}[/tex] , 0 ]
Finn C ( x , y , 0 )
[tex]\overrightarrow{OC}[/tex] = [tex]\overrightarrow{OE}[/tex] ( utrekna under del b ) + [tex]\overrightarrow{EC}[/tex]
Var dette meir forståeleg ?
Skjeringslinja mellom planet [tex]\beta[/tex] og xy-planet har retningsvektor [ 3 , 4 , 0 ] ( jamfør info under del b )
Sidan EC no ligg på skjeringslinja , kan vi skrive [tex]\overrightarrow{EC}[/tex] = t [tex]\cdot[/tex] [ 3 , 4 , 0 ] = [3t , 4t , 0 ]
[tex]\left | \overrightarrow{EC} \right |[/tex] = [tex]\sqrt{(3t)^{2}) + (4t)^{2}}[/tex] = [tex]\left | 5t \right |[/tex] = 5[tex]\cdot[/tex] [tex]\left | t \right |[/tex]
Finn t
[tex]\left | \overrightarrow{EC} \right |[/tex] = [tex]\frac{13}{5}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] 5 t = [tex]\frac{13}{5}[/tex] eller 5 t = -[tex]\frac{13}{5}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] t = [tex]\frac{13}{25}[/tex]( uinteressant ) eller t = -[tex]\frac{13}{25}[/tex]
[tex]\overrightarrow{EC}[/tex] = - [tex]\frac{13}{25}[/tex][tex]\cdot[/tex][3 , 4 , 0 ] = [-[tex]\frac{39}{25}[/tex], -[tex]\frac{52}{25}[/tex] , 0 ]
Finn C ( x , y , 0 )
[tex]\overrightarrow{OC}[/tex] = [tex]\overrightarrow{OE}[/tex] ( utrekna under del b ) + [tex]\overrightarrow{EC}[/tex]
Var dette meir forståeleg ?
-
geil
Tusen Takk for all hjelp
Utan dokke hadde eg ikkje klart dette
Deloppgåve d) var tung materie løyse
NB! Har løyst oppgåve d nedafor og håper den er løyst tilfredstillande.
Pyramiden med grunnflata ABC og toppunktet D over xy-planet blir dreidd ein spiss vinkel om AB slik at grunnflata fell i
xy- planet.
d) Forklar kvifor hjørnet C flytter seg i planet β når vi dreier. Finn koordinatane til dette hjørnet etter dreiinga. Kva blir
no z-koordinaten til toppunktet.?
Punktet C ligg i planet β som har likninga 4x – 3y = 0, set vi inn koordinatane til punktet
C (0, 0, 1) ser vi at dei passer inn i likninga. Omdreiingsaksen (AB) ⃗ = [- 4, 3, 0] er ein normalvektor til planet β. Det vil
seie at punktet C følgjer ei bane som ligg i dette planet under heile omdreiingsprosessen.
r ⃗ = -1· [3, 4, 0] = [ - 3, - 4, 0]
(EC) ⃗ = 13/5 · r ⃗
= 13/5 · [- 3,-4,0]
= [- 39/25,-52/25,0]
(0E) ⃗ = [36/25,48/25,0]
(OC) ⃗ = (0E) ⃗ + (EC) ⃗ = (0E) ⃗ + 13/5 · r ⃗
[x,y,0] = [36/25,48/25,0] + 13/5 · [ - 3, - 4, 0]
= [36/25,48/25,0] + [- 39/25,-52/25,0]
= [36/25 - 39/25,48/25 -52/25,0]
= [- 3/25,- 4/25,0]
C (- 3/25,-4/25,0)
Toppunktet D har før dreiing avstanden 60/13 frå planet α, altså grunnflata ABC. Når vi dreier flytter grunnflata ABC
seg til xy-planet og z-koordinaten til D forblir avstanden frå D til xy-planet 60/13.
D_Z = 60/13
Utan dokke hadde eg ikkje klart dette
Deloppgåve d) var tung materie løyse
NB! Har løyst oppgåve d nedafor og håper den er løyst tilfredstillande.
Pyramiden med grunnflata ABC og toppunktet D over xy-planet blir dreidd ein spiss vinkel om AB slik at grunnflata fell i
xy- planet.
d) Forklar kvifor hjørnet C flytter seg i planet β når vi dreier. Finn koordinatane til dette hjørnet etter dreiinga. Kva blir
no z-koordinaten til toppunktet.?
Punktet C ligg i planet β som har likninga 4x – 3y = 0, set vi inn koordinatane til punktet
C (0, 0, 1) ser vi at dei passer inn i likninga. Omdreiingsaksen (AB) ⃗ = [- 4, 3, 0] er ein normalvektor til planet β. Det vil
seie at punktet C følgjer ei bane som ligg i dette planet under heile omdreiingsprosessen.
r ⃗ = -1· [3, 4, 0] = [ - 3, - 4, 0]
(EC) ⃗ = 13/5 · r ⃗
= 13/5 · [- 3,-4,0]
= [- 39/25,-52/25,0]
(0E) ⃗ = [36/25,48/25,0]
(OC) ⃗ = (0E) ⃗ + (EC) ⃗ = (0E) ⃗ + 13/5 · r ⃗
[x,y,0] = [36/25,48/25,0] + 13/5 · [ - 3, - 4, 0]
= [36/25,48/25,0] + [- 39/25,-52/25,0]
= [36/25 - 39/25,48/25 -52/25,0]
= [- 3/25,- 4/25,0]
C (- 3/25,-4/25,0)
Toppunktet D har før dreiing avstanden 60/13 frå planet α, altså grunnflata ABC. Når vi dreier flytter grunnflata ABC
seg til xy-planet og z-koordinaten til D forblir avstanden frå D til xy-planet 60/13.
D_Z = 60/13
-
Mattebruker
Bra ! Her er det tydeleg at du har " knekt koden " . Hyggeleg å vite at du har hatt utbytte av vår vegleiing .
Mvh
Mattegjest
Mvh
Mattegjest