Trigonometriske Likningar

[geil]

Hei!
Treng hjelp til denne oppgåva, sjå nedanfor,
har prøvd med å gjere om til tangens, men kjem ikkje vidare
tan (3x) = 1
3x = π/4 + n · π

Oppgåva
a) 4 sin (π/4 x) + 4 cos (π/12 x) = 0, x ∈ [0, 24⟩

[josi]

Gå videre ved å dele på 3 på begge sider av likningen. Så er du i mål.

[geil]

Hei!
Kjem ikkje i mål
sjå løysinga mi nedanfor

Løys likningane:
a) 4 sin (π/4 x) + 4 cos (π/12 x) = 0, x ∈ [0, 24⟩
(4 sin (π/4 x))/(cos (π/12 x) ) = 4 ( cos (π/12 x))/(cos (π/12 x) ) │ : cos (π/12 x)
tan (3x) = 1 tan – 1 (1) = π/4
3x = π/4 + n · π
x = π/12 + n · π/3
x = π/12 + 0 · π/3 ˄ x = π/12 + 1 · 4π/12
x = π/12 ˄ x = 5π/12
Fasit gir: Løysinga skal vere L = {9, 21}

Her er det noko som ikkje stemmer.
Dette forstår eg ikkje har ikkje vore bort i dette før
og driv sjølv studium.

[josi]

4 sin (π/4 x))/(cos (π/12 x) ) = 4 ( cos (π/12 x))/(cos (π/12 x) ) │ : cos (π/12 x)
tan (3x) = 1 tan – 1 (1) = π/4

Sorry! Jeg så ikke at det sto cos (π/12 x) og ikke cos (π/4 x).
sin (π/4 x))/(cos (π/12 x) er ikke tan(3x).
Da blir det vanskeligere å løse likningen.

[geil]

Hei!
Løys likninga:
a) 4 sin (π/4 x) + 4 cos (π/12 x) = 0, x ∈ [0, 24⟩
Er noko som har eit tips korleis denne kan løysast

[Aleks855]

1: Del på 4 for å forenkle likninga litt

2: Flytt sinus-uttrykket over på høyre side

3: Skriv om sinus-uttrykket som et cosinus-uttrykk ved å bruke at $-\sin (\theta )=\cos (-\theta -\frac{\pi }{2})$

4: Bruk $\arccos$ på begge sider for å redusere uttrykket til en rett-frem likning

[Mattebruker]

Supplerer bidraget frå Aleks855:

For å løyse førnemnde likning kan vi bruke desse verkøya:

1) cos( u ) = sin( $\frac{\pi }{2}$ - u )

2) - sin( u ) = sin( - u ) ( symmetri om origo - odde funksjon )

3 sin( u ) = sin( v ) $\iff$ u = v + n $\cdot$2$\pi$ eller u = ( pi - v ) + n * 2 pi

[geil]

Hei!
Takk for god hjelp, men kjem likevel ikkje i mål.
Klarer ikkje å sjå korleis eg skal gå vidare med x-uttrykk
på begge sider.

Sjå nedanfor så langt eg kjem.
Veit ikkje om det eg har gjort er riktig heller?

Løys likningane:
a) 4 sin (π/4 x) + 4 cos (π/12 x) = 0, x ∈ [0, 24⟩
4 cos (π/12 x) = - 4 sin (π/4 x) │: 4
cos (π/12 x) = - sin (π/4 x) - sin (u) = sin ( - u)
sin (π/2- π/12 x ) = sin (- π/4 x) cos x = sin (π/2-x)
Her stopper det

[josi]

Så sant sin(x) er jevnt stigende eller jevnt synkende i området, vil vi ha at sin(x) = sin(u) => x = u.

[Mattebruker]

Btukar det verktøyet eg presenterte i mitt forrige innlegg. Startar med å flytte cosinusleddet over på H. S.

sin ( $\frac{\pi }{4}$ x ) = -cos( $\frac{\pi }{12}$ x ) = ( formel 1 ) - sin( $\frac{\pi }{2}$ - $\frac{\pi }{12}x$ ) = ( formel 2 ) sin ( -($\frac{\pi }{2}$ - $\frac{\pi }{12}$ x ) =

= sin( $\frac{\pi }{12}$x - $\frac{\pi }{2}$ )

Brukar så formel ( 3 ) for å få tak i dei x-verdiane som tilfredsstiller likninga:

sin( $\frac{\pi }{4}$ x ) = sin( $\frac{\pi }{12}$x - $\frac{\pi }{2}$ ) $\iff$

$\frac{\pi }{4}$x = $\frac{\pi }{12}$x - $\frac{\pi }{2}$ + n$\cdot$2$\pi$

eller

$\frac{\pi }{4}$x = ( $\pi$ - ( $\frac{\pi }{12}$x - $\frac{\pi }{2}$ ) ) + n$\cdot$ 2$\pi$

No gjenstår å ordne likningane og finne dei allmenne løysingane.

Til slutt må vi plukke ut dei løysingane som ligg innafor grunnmengda [ 0 , 24 $>$. Lukke til !

[josi]

Gitt likningen:

$4\ast sin(\frac{x\pi }{4})+4\ast cos(\frac{x\pi }{12})=0$,

kan man notere at

$sin(x)=-cos(x)=>x=\frac{3\ast \pi }{4},\frac{7\ast \pi }{4}$

Vi har også:

$sin(\frac{\pi }{4})=sin(\frac{3\ast \pi }{4})=sin(\frac{3\ast 3\ast \pi }{4})$

$\frac{x\pi }{4}=\frac{3\ast 3\ast \pi }{4}=>x=9$

$\frac{x\ast \pi }{4}=\frac{3\ast 7\ast \pi }{4}=>x=21$

[Mattebruker]

Minner om at likninga

( * ) sin( $\frac{\pi }{4}$ x ) + cos( $\frac{\pi }{12}$ x ) = 0

har seks ( 6 ) løysingar innafor grunnmengda [ 0 , 24 >. Tør påstå at trig. likningar av denne typen neppe
vil dukke opp på Del 1 av skriftleg eksamen i faget R2. På Del 2 har kandidaten tilgang til alle digitale
hjelpemiddel. Da vil likninga ( * ) kunne løysast i CAS utan at kandidaten treng å anstrenge seg særleg mykje.

Ha ein fin sundag !

Mvh

Mattegjest

[geil]

Hei!
Har komt fram til ei løysing sjå nedanfor.
ER dette riktig?

arcsin (π/4) = arcsin (π/12 x- π/2)

og får

π/4 x = (π/12 x- π/2) + n · 2π
Denne går fint å løyse

eller

π/4 x = (π- (π/12 x- π/2)) + n · 2π
Denne veit eg

a) 4 sin (π/4 x) + 4 cos (π/12 x) = 0, x ∈ [0, 24⟩
4 sin (π/4 x) = - 4 cos (π/12 x) │: 4
sin (π/4 x) = - cos (π/12 x) cos x = sin (π/2-x)
sin (π/4) = - sin (π/2- π/12 x) - sin (u) = sin ( - u)
sin (π/4) = sin (π/12 x- π/2)
arcsin (π/4) = arcsin (π/12 x- π/2)

π/4 x - π/12 x = - π/2 + n · 2π
3π/12 x - π/12 x = - 6π/12 + n · 24π/12
2π/12 x = - 6π/12 + n · 24π/12 │· 12
2πx = - 6π + n · 24π │ : 2π
x = - 3 + n · 12
x = - 3 + 1· 12 ˅ x = - 3 + 2 · 12
x = 9 ˅ x = 21

eller

π/4 x = (π- (π/12 x- π/2)) + n · 2π
π/4 x + π/12x = π + π/2 + n · 2π
3π/12 x + π/12x = 12π/12 + 6π/12 + n · 24π/12
4π/12 x = 18π/12 + n · 24π/12 │· 12
4πx = 18π + n · 24π │ : 4π
x = 9/2 + n · 12/2
x = 9/2 + 0 · 12/2 ˅ x = 9/2 + 1 · 12/2 ˅ x = 9/2 + 2 · 12/2
x = 9/2 ˅ x = 21/2 ˅ x = 33/2

[Mattebruker]

Vedk. " den andre løysinga " :

x = $\frac{9}{2}$ + 6 n , n $\in$ Z ( allmenn løysing )

Løysingar innafor grunnmengda [ 0 , 24 >

x = 9/2 eller x = 9/2 + 1 * 6 = 21/2 eller x = 9/2 + 2 * 6 = 33/2 eller x = 9/2 + 3 * 6 = 45/2