Begrepsforståelse (lokal/global maks/min)

[Gjest]

Hei, som tittelen sier så er jeg litt forvirret rundt hva som er lokal, globalt maks og minimum.

Jeg vet at lokalt maks/min er høyere/lavere områder for et punktet i iforhold til punkter i nærheten, mens global maks/min er høyeste/laveste punktene med størst/lav funksjonsverdi gjennom hele intervallet.

Men la oss si vi har en funksjon [tex]f[/tex] i et intervall [tex][a,b][/tex], er det slik at i endepunktene så vil dette være både globale og lokale maks/min da dette er et lukket intervall?
Hvis vi har en funksjon på et åpent intervall, er det slik at global maks/min ikke finnes da funksjonen kan være uendelig strengt voksende/synkene - mao. gir det mer mening å snakke om lokale ? da man ikke har kritiske endepunkter?


Takk for oppklaring!

[Gjest]

TS her, i tillegg lurer jeg på om et kritisk punkta av typen hvor [tex]f'(x)[/tex] IKKE EKSISTERER, kan dette være et global/lokalt maks/min punkt?

[Nebuchadnezzar]

Hei, om du ser på $\sin x$ for $0 \leq x \leq 2\pi$ ser du forhåpentligvis at i endepunktene så er $\sin 0 = \sin 2\pi = 0$. Dette viser jo at endepunktene ikke nødvendigvis er maks / min. siden $\sin x$ svinger mellom $-1$ og $1$.

Poenget er at når man skal sjekke ekstremalpunkt (altså topp, bunn) så er det 3 plasser disse kan oppstå

1. Der $f' = 0$
2. I endepunktene til intervallet
3. I skjøtepunktene (Tenk funksjoner med delt forskrivt)

Det siste punktet leder fint inn i det siste spørsmålet ditt. En funksjon kan helt fint ha ett ekstremalpunkt selv om funksjonen ikke er deriverbar der (altså at $f'$ ikke eksister).

Ett enkelt eksempel er $f$ gitt som $f(x) = |x|$. Her eksisterer ikke $f'(0)$ (hvorfor?), men likevell så har funksjonen ett minimum her. Dette er jo fordi ekstremalpunkt oppstår kan oppstå både i punkt 1, 2 og 3. Ikke bare der $f' = 0$ =)

Håper dette svarte på spørsmålet ditt, hvis ikke så bare spør mer!

[Gjest]

Hei, om du ser på $\sin x$ for $0 \leq x \leq 2\pi$ ser du forhåpentligvis at i endepunktene så er $\sin 0 = \sin 2\pi = 0$. Dette viser jo at endepunktene ikke nødvendigvis er maks / min. siden $\sin x$ svinger mellom $-1$ og $1$.

Poenget er at når man skal sjekke ekstremalpunkt (altså topp, bunn) så er det 3 plasser disse kan oppstå

1. Der $f' = 0$
2. I endepunktene til intervallet
3. I skjøtepunktene (Tenk funksjoner med delt forskrivt)

Det siste punktet leder fint inn i det siste spørsmålet ditt. En funksjon kan helt fint ha ett ekstremalpunkt selv om funksjonen ikke er deriverbar der (altså at $f'$ ikke eksister).

Ett enkelt eksempel er $f$ gitt som $f(x) = |x|$. Her eksisterer ikke $f'(0)$ (hvorfor?), men likevell så har funksjonen ett minimum her. Dette er jo fordi ekstremalpunkt oppstår kan oppstå både i punkt 1, 2 og 3. Ikke bare der $f' = 0$ =)

Håper dette svarte på spørsmålet ditt, hvis ikke så bare spør mer!

Hmm, [tex]f(x) = |x|[/tex] er vel ekvivalent med [tex]f(x)=\left ( \sqrt{x^2} \right )[/tex]
da [tex]x^2 >0 \, \forall \,x \in \mathbb{R}[/tex].

Således blir [tex]f(x)=\left | x \right |=\sqrt{x^2}\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2}*\left ( x^2 \right )^{\frac{1}{2}-1}*2x=x*\left (x^2 \right )^{-0.5}=\frac{x}{\sqrt{x^2}}[/tex]

Hvor igjen [tex]\sqrt{x^2} = \left | x \right |[/tex]

Slik at [tex]f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\left | x \right |}[/tex]

[tex]f'(0)[/tex] eksisterer ikke fordi divisjon på 0.

Men slik jeg forstår det;

I et gitt intervall [tex][a,b][/tex] kan [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er det lov å sjekke om noe er lokalt/maks ved å bare sjekke funksjonsverdien opp mot hverandre? men hvordan skal man gjøre dette hvor [tex]f'(x)[/tex] ikke eksisterer? gitt at x-verdien ikke er definert for selve [tex]f(x)[/tex]av typen [tex]f(x)=\frac{1}{x}[/tex] ?

[Nebuchadnezzar]

Litt av tanken er jo og at abs kan skrives ved hjelp av delt forskrivt

$\hspace{1cm}
|x| =
\begin{cases}
-x & < 0 \\ \phantom{-} 0 & = 0 \\ \phantom{-} x & > 0
\end{cases}
$

Der der den deriverte blir

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} |x| =
\begin{cases}
-1 & < 0 \\ \phantom{-} 1 & > 0
\end{cases}
$

Hvor en nå ser at den deriverte gjør ett hopp i 0 og verdien avhengiger om vi nærmer oss 0 fra venstre og høyre. De retningsderiverte $0^-$ og $0^+$ er ikke like slik at funksjonen ikke er deriverbar i null.

Tanken er jo som du sier at du bare sammenligner funksjonsverdiene for å finne topp og bunn. Sammenligner bruddpunkt, punkter hvor $f' = 0$ og bruddpunktene. Så må en bare drøfte om de er lokale eller globale

[Gjest]

Litt av tanken er jo og at abs kan skrives ved hjelp av delt forskrivt

$\hspace{1cm}
|x| =
\begin{cases}
-x & < 0 \\ \phantom{-} 0 & = 0 \\ \phantom{-} x & > 0
\end{cases}
$

Der der den deriverte blir

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} |x| =
\begin{cases}
-1 & < 0 \\ \phantom{-} 1 & > 0
\end{cases}
$

Hvor en nå ser at den deriverte gjør ett hopp i 0 og verdien avhengiger om vi nærmer oss 0 fra venstre og høyre. De retningsderiverte $0^-$ og $0^+$ er ikke like slik at funksjonen ikke er deriverbar i null.

Tanken er jo som du sier at du bare sammenligner funksjonsverdiene for å finne topp og bunn. Sammenligner bruddpunkt, punkter hvor $f' = 0$ og bruddpunktene. Så må en bare drøfte om de er lokale eller globale

takk!

[Gjest]

Litt av tanken er jo og at abs kan skrives ved hjelp av delt forskrivt

$\hspace{1cm}
|x| =
\begin{cases}
-x & < 0 \\ \phantom{-} 0 & = 0 \\ \phantom{-} x & > 0
\end{cases}
$

Der der den deriverte blir

$\hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} |x| =
\begin{cases}
-1 & < 0 \\ \phantom{-} 1 & > 0
\end{cases}
$

Hvor en nå ser at den deriverte gjør ett hopp i 0 og verdien avhengiger om vi nærmer oss 0 fra venstre og høyre. De retningsderiverte $0^-$ og $0^+$ er ikke like slik at funksjonen ikke er deriverbar i null.

Tanken er jo som du sier at du bare sammenligner funksjonsverdiene for å finne topp og bunn. Sammenligner bruddpunkt, punkter hvor $f' = 0$ og bruddpunktene. Så må en bare drøfte om de er lokale eller globale

Lite spørsmål;

Dersom man har et sett med kritiske punkter (hvor [tex]f'(x)=0[/tex], hvor [tex]f(x)[/tex] ikke eksisterer) og randpunkter [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex]

Hvordan kan man vite hva [tex]f(x)[/tex] som ikke eksisterer er ? typen [tex]f(x) = \frac{e^x}{x}[/tex], her er [tex]x=0[/tex] et kritisk punkt, men hvordan skal jeg regne ut funksjonsverdien til denne x-verdien for å se om dette er et lokalt maks/min eller global maks/min ?

[Nebuchadnezzar]

0 er jo ikke et kritisk punkt siden funksjonen ikke eksisterer der? funksjonen går vel mot uendelig

[Gjest]

0 er jo ikke et kritisk punkt siden funksjonen ikke eksisterer der? funksjonen går vel mot uendelig

jeg mente;

hvis man har [tex]f(x)=\frac{e^x}{x}[/tex]
her vil [tex]x \neq 0[/tex] både for [tex]f(x)[/tex] og [tex][tex][/tex]f'(x), ergo [tex]f'(x)[/tex] eksisterer ikke her[/tex]
Hvordan skal man finne frem til om dette er et globalt/lokalt/ maks/min punkt?

[Aleks855]

For å være et max/min-punkt, så må det i første omgang være et punkt, og det er det ikke. Et punkt her består av to komponenter, $(x, \ f(x))$. Og siden $f(x)$ ikke eksisterer for $x=0$...

[Gustav]

For å være et max/min-punkt, så må det i første omgang være et punkt, og det er det ikke. Et punkt her består av to komponenter, $(x, \ f(x))$. Og siden $f(x)$ ikke eksisterer for $x=0$...

Nei, et punkt i denne sammenhengen er et element i domenet til funksjonen (x kalles et punkt og f(x) en verdi). Siden x=0 ikke er med i domenet, er det heller ikke et kritisk punkt. Definisjon: https://en.wikipedia.org/wiki/Critical_ ... thematics)

[Gjest]

Ts her
aha, akkurat takk for oppklaring

Men, hvis [tex]f'(x)[/tex] ikke eksisterer, men [tex]f(x)[/tex] eksisterer, er det bare til å sjekke ut verdimengden til denne x-verdien for funksjonen for å bestemme om det er et globalt/lokalt maks/min punkt?

[Nebuchadnezzar]

Eneste gang du trenger å sjekke $f$ der $f'$ ikke eksisterer er randpunktene til $f$ altså endepunktene / bruddpunktene til $f$.

Anta ene endepunktet er $x=a$, da kan du sjekke om $x=a$ er den største / minste verdien i ett lite omhegn omkring $a$. Altså at du sjekker at $x=a$ er største verdi i intervalet $a-\varepsilon < x < a + \varepsilon$ for tilstrekkelig små $\varepsilon > 0$.