Jeg ønsker å finne et 2.grads polynom som står normalt på 1 og 1-2t.
Dette har jeg fått til hittil:
Jeg har tenkt at jeg må finne a, b og c til polynomet:
$p(t) = at^2 +bt + c $ slik at $ <p(t),1> =$ 0 og $<p(t),1-2t> = 0 $
Dette systemet vil ha to likninger og tre ukjente, og dermed finnes det mange løsninger. Men hvordan finner jeg en av disse løsningene?
finne løsninger til et 2.grads polynom
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
For å finne en entydig løsning, må du da velge en tallverdi for en av variablene arbitrært, ved. f.eks. å sette $c = 0$ og så løse for $a$ og $b$.
Vi har at [tex]\int_0^1 (at^2+bt+c)dt=0[/tex]feli_e skrev:Jeg ønsker å finne et 2.grads polynom som står normalt på 1 og 1-2t.
Dette har jeg fått til hittil:
Jeg har tenkt at jeg må finne a, b og c til polynomet:
$p(t) = at^2 +bt + c $ slik at $ <p(t),1> =$ 0 og $<p(t),1-2t> = 0 $
Dette systemet vil ha to likninger og tre ukjente, og dermed finnes det mange løsninger. Men hvordan finner jeg en av disse løsningene?
og [tex]\int_0^1 (at^2+bt+c)(1-2t)dt=0[/tex]
Så vi får at [tex]\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c=0[/tex] og [tex]\frac{1}{6}(-a-b)=0[/tex]
Vi setter så opp totalmatrisen for systemet
[tex]\begin{bmatrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 & 0\\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6}&0&0\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}1&0&-6&0\\0&1&6&0\end{bmatrix}[/tex]
Fra dette ser vi at
\begin{cases}a=6c\\
b=-6c\end{cases}
Hvis vi lar [tex]c=s[/tex] kan vi parametrisere løsningene slik at
\begin{cases}a=6s\\b=-6s\\c=s\end{cases}
La f.eks $s=3$, da har vi at
$ax^2+bx+c=6\cdot 3 x^2 + (-6)\cdot 3x+3=18x^2-18x+3$
La oss sjekke om polynomet vårt stemmer med betingelsene.
$\int_0^1 (18x^2-18x+3) dx=0$
$\int_0^1 (18x^2-18x+3)(2x-1)=0$
Som ønsket.
Merk at dette holder for enhver verdi for $s$. Vi kunne f.eks. ha valgt $s=27139$
Da ville $ax^2+bx+c=162834x^2-162834x+27139$