Hei Jeg sliter med å angripe denne oppgaven. Noen som forstår hvordan man går frem?
En komet med masse m passerer en planet med masse M= 6,0·1024 kg. Kometen opplever da et potensial
U(r)= -GMm/|r| på grunn av gravitasjonskraften. Her er G= 6,67·10-11 Nm2
/kg2 gravitasjonskonstanten
og r(t)= [x(t), y(t), z(t)] er posisjonen til kometen når origo for koordinatsystemet er valgt i planetens
massesenter.
a) Anta at kometen har en hastighet på 10 km/s når den er uendelig langt borte. Hva er hastigheten til
kometen når |r|= 100 000 km? Vi ser bort fra gravitasjonskraften fra andre planeter.
b) Skrive ned bevegelsesligningene som beskriver tidsutviklingen til posisjonen r(t).
Fysikk
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Første delspørsmål ( a ) burde vere eit overkomeleg problem:
Potensialfunksjonen U ( r ) viser potensiell energi i avstand r frå origo.
Ettersom mekanisk energi er bevart , kan vi skrive
( * ) U( [tex]\infty[/tex] ) + E[tex]_{k}[/tex]( [tex]\infty[/tex] ) = U( r[tex]_{1}[/tex] ) + E[tex]_{k}[/tex]( r[tex]_{1}[/tex] )
U( [tex]\infty[/tex] ) = lim( r [tex]\rightarrow[/tex][tex]\infty[/tex] ) U( r ) = 0
Finn farta v[tex]_{1}[/tex] ( r[tex]_{1}[/tex] = 100 000 km = 10[tex]^{8}[/tex] m )
E[tex]_{k}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex] m v[tex]^{2}[/tex]
Ved innsetting i ( * ) får vi
0 + [tex]\frac{1}{2}[/tex] m v[tex]^{2}[/tex] = - [tex]\frac{G M m}{r_{1}^{2}}[/tex] + [tex]\frac{1}{2}[/tex]m v[tex]_{1}[/tex][tex]^{2}[/tex]
Løyser ut v[tex]_{1}[/tex] og får
v[tex]_{1}[/tex] =( v([tex]\infty[/tex] )[tex]^{2}[/tex] + [tex]\frac{2 G M}{r^{2}}[/tex])^0.5
Er meir usikker når det gjeld punkt b
For å bestemme rørslelikningane , er det naturleg å ta utgangspunkt i N.2. lov.
Da må vi aller først finne F = F( r ).
Sidan kometen opplever eit gravitasjonspotensial, har vi at
[tex]\overrightarrow{F}[/tex] = - [tex]\bigtriangledown[/tex]U( r ) = - [tex]\frac{dU}{dr}[/tex] = [tex]\frac{G M m}{r^{2}}[/tex][tex]\overrightarrow{e_{r}}[/tex]
Gangen vidare: [tex]\overrightarrow{a}[/tex] = [tex]\frac{\overrightarrow{F}}{m}[/tex]
[tex]\overrightarrow{v( t )}[/tex] = [tex]\int \overrightarrow{a}[/tex] dt ( her møter eg " veggen " )
Kanskje fins det nokon der ute som kan ta opp stafettpinnen og bringe den i mål ?
Potensialfunksjonen U ( r ) viser potensiell energi i avstand r frå origo.
Ettersom mekanisk energi er bevart , kan vi skrive
( * ) U( [tex]\infty[/tex] ) + E[tex]_{k}[/tex]( [tex]\infty[/tex] ) = U( r[tex]_{1}[/tex] ) + E[tex]_{k}[/tex]( r[tex]_{1}[/tex] )
U( [tex]\infty[/tex] ) = lim( r [tex]\rightarrow[/tex][tex]\infty[/tex] ) U( r ) = 0
Finn farta v[tex]_{1}[/tex] ( r[tex]_{1}[/tex] = 100 000 km = 10[tex]^{8}[/tex] m )
E[tex]_{k}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex] m v[tex]^{2}[/tex]
Ved innsetting i ( * ) får vi
0 + [tex]\frac{1}{2}[/tex] m v[tex]^{2}[/tex] = - [tex]\frac{G M m}{r_{1}^{2}}[/tex] + [tex]\frac{1}{2}[/tex]m v[tex]_{1}[/tex][tex]^{2}[/tex]
Løyser ut v[tex]_{1}[/tex] og får
v[tex]_{1}[/tex] =( v([tex]\infty[/tex] )[tex]^{2}[/tex] + [tex]\frac{2 G M}{r^{2}}[/tex])^0.5
Er meir usikker når det gjeld punkt b
For å bestemme rørslelikningane , er det naturleg å ta utgangspunkt i N.2. lov.
Da må vi aller først finne F = F( r ).
Sidan kometen opplever eit gravitasjonspotensial, har vi at
[tex]\overrightarrow{F}[/tex] = - [tex]\bigtriangledown[/tex]U( r ) = - [tex]\frac{dU}{dr}[/tex] = [tex]\frac{G M m}{r^{2}}[/tex][tex]\overrightarrow{e_{r}}[/tex]
Gangen vidare: [tex]\overrightarrow{a}[/tex] = [tex]\frac{\overrightarrow{F}}{m}[/tex]
[tex]\overrightarrow{v( t )}[/tex] = [tex]\int \overrightarrow{a}[/tex] dt ( her møter eg " veggen " )
Kanskje fins det nokon der ute som kan ta opp stafettpinnen og bringe den i mål ?