Likningssystem S1-matte

[fiona_02]

Jeg har fått oppgitt dette likningssystemet:

(1) x^2+y^2=4
(2) x^2+y=k

Så skal jeg bestemme antall løsninger for ulike verdier av k.

Jeg brukte GeoGebra for å løse oppgaven. Da satte jeg inn likningssystemet, og brukte glideren (k) til å se med øyemål når det var en, to, tre eller fire løsninger. Dette var greit nok. Men lurer på hvordan jeg kunne løst oppgaven algebraisk. (Hvordan finner jeg k verdien for når likningssettet har ingen løsning, og når den har 1,2,3 og 4 løsninger)

Setter stor pris på hjelp:)

[SpreVitenskapVidere]

$$\begin{array}{rl}& \left(1\right)x^2+y^2=4\\ & \left(2\right)x^2+y=k\\ & \left(2\right),x^2=k-y\\ & \left(1\right)k-y+y^2=4\\ & y^2-y+k-4=0\\ & y_{1,2}={\displaystyle \frac{+1\pm \sqrt{{(-1)}^2-4\cdot 1\cdot (k-4)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1-4k+16}}{2}}={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{17-4k}}{2}}\end{array}$$

Hvis utrykket under kvadratroten er mindre enn null har ligningen ingen løsning siden det finnes ikke kvadratrot for negative tall
$$\begin{array}{rl}& 17-4k<0\Rightarrow 17<4k\\ & {\displaystyle \frac{17}{4}}<k\Rightarrow k>{\displaystyle \frac{17}{4}}\end{array}$$
Hvis utrykket under kvadratroten er 0 så har ligningen to lønininger
$$\begin{array}{rl}& 17-4k=0\Rightarrow 17=4k\Rightarrow k={\displaystyle \frac{17}{4}}\\ & y_{1,2}={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow \left(2\right),x^2=k-y={\displaystyle \frac{17}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{15}{4}}\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{15}{4}}\\ & x=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{15}{4}}}=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}\\ & \{(x_1,y_1)=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}),(x_2,y_2)=({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}})\}\end{array}$$
Hvis utrykket under kvadratroten er større enn null , har ligningen enten 1 , 3 , eller 4 løsninger

$17-4k>0\Rightarrow 17>4k\Rightarrow {\displaystyle \frac{17}{4}}>k\Rightarrow k<{\displaystyle \frac{17}{4}}$

[fiona_02]

Jeg skjønner. Tusen hjertelig takk!