Matrisenøtt

[Gustav]

La $A$ og $B$ være forskjellige (reelle) $n\times n$ matriser ($A\ne B$). Hvis $A^3=B^3$ og $A^{2}B=B^{2}A$, vis at $A^2+B^2$ er singulær.

[lfe]

Fra oppgaveteksten vet vi at $A^{2}B+B^3=A^3+B^{2}A$.
Siden matrisemultiplikasjon ditribuerer, får vi $(A^2+B^2)B=(A^2+B^2)A$.
Anta for motsigelsens skyld at $A^2+B^2$ har en invers.
Det betyr at $A=(A^2+B^2{)}^{-1}(A^2+B^2)A=(A^2+B^2{)}^{-1}(A^2+B^2)B=B$.
Dette motsier kravet i oppgaven om at $A\ne B$.
Dermed er $A^2+B^2$ singulær.

[Gustav]

Flott