Først skal jeg introdusere isognale linjer, symmedianer og harmoniske firkanter.
I en vinkel kaller vi 2 linjer
Isogonale hvis de er refleksjonen av hverandre over vinkelhalveringslinja. symmedianen er definert som refleksjonen av medianen over vinkelhalveringslinja. Symmedianen inneholder mange nyttige egenskaper, og den viktigste er kanskje at -symmedianen i trekant går gjennom skjæringen mellom tangentene til omsirkelen gjennom og . Et syntetisk bevis på dette er ikke så lett, så den letteste løsningen er å bruke sinussetningen. Vi kaller en en syklisk firkant harmonisk hvis tangentene i og skjærer på linja . Et resultat i harmoniske firkanter er:
er symmedian i ,
er symmedian i ,
er symmedian i
og er symmedian i .
Av konstruksjon av symmedianen er symmedianen i og . Ved hjelp av formlike trekanter og vinkeljakt kan man komme fram til resten av resultatet.
Dette er det som brukes i løsningen her.
Jeg har ikke forklart veldig bra her og har ikke bevist noen av resultatene. Noen forskjellig bevis på at symmedianen går gjennom skjæringen av tangentene finner du i denne handouten:
https://yufeizhao.com/olympiad/geolemmas.pdf. En annen god introduksjon til symmedianer finner man i kapittel 4 i boka EGMO av Evan Chen. Jeg presenterer også en løsning som bruker inversjon istedenfor symmedianer, som man kan lese om her:
https://services.artofproblemsolving.co ... 9uLnBkZg==
tilbake til oppgaven:
Påstand: linja er -symmedianen i . Jeg presenterer 2 bevis på påstanden.
Bevis 1:
la være omsirkelen til . la være omsenteret til . Siden er en linje, så er og tangent. Hvis vi ser på potenssenteret til de tre sirkelene får vi at tangentene til i og skjærer på . Dette impliserer at er en harmonisk firkant, så er symmedianen.
Bevis 2:
La og skjære i og .
La være inversjon rundt med radius kompinert med refleksjon over vinkelhalveringslinja. bytter og , og , og , siden ortosenteret og omsenteret er isogonalkonjugater.
blir sendt til sirkelen gjennom og tangent til .
er en likebeint trapes, så sirkelen gjennom og tangent til tangerer i midtpunktet av , som betyr at er linja som er isogonal med medianen, altså symmedianen.
Av påstand er og de tre symmedianene i trekanten, så de skjærer i et punkt.
Ny oppgave: la være de positive heltallene. Finn alle funksjoner : slik at + for alle positive heltall