faktorisering
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
gjest
er det noen her som har en grei forklaring på hvordan jeg faktoriserer annengradslikninger?
-
Guest
Ikke alle andregradsutrykk kan faktoriseres, men dersom du tegner grafen på kalkulatoren og den __krysser null__ så kan den faktoriseres.
Dersom grafen krysser x-aksen på f.eks 2, så har du en faktor (x-2)
det vil si at når x=2 så er uttrykket på null.
Ofte vil den ha to løsninger (to steder der den krysser x-aksen) fordi grafen er en parabel, en bue som krysser på to steder.
I noen tilfelle er det bare en løsning fordi parabelens bunn eller topp-punkt "toucher" x-aksen på bare ett sted, det er det vi kaller et fullstendig kvadrat.
Eksempel er x² der x må være 0 for at funksjonen skal være 0 og "krysse x-aksen. Så faktoren er x-0 som er x
Andre ganger har ikke grafen nullpunkt, og da kan den ikke faktoriseres. Et eksempel er x² +x + 100 Her vil parabelen med første øyekast havne langt borte fra x-aksen, fordi konstantleddet er så høyt.
Det er to kjappe måter å finne nullpunktene (faktorene):
Kalkulator (1): Graph, slå inn funksjonen, DRAW - tegn grafen, SHIFT-GSOLV-ROOT. Kalkulatoren kommer opp med x-verdier som krysser x-akse. Er det flere, trykk pil høyre for neste. Faktoriseringen blir (x-x1)(x-x2) der x1, x2 er løsningene fra kalkulatoren.
Kalkulator (2): EQUA-Poly (F2) 2grad (F1)
Slå inn koeffisientene for utrykket. Dersom det ikke er alle ledd, slå null. Dvs x²+x blir 1,1,0 og x²-2 blir 1,0,-2 Trykk SOLV for løsninger.
Manuelle metoder:
Andregradsformelen. Den har fordelen at den kan gi eksakte svar, et must for videregående matematikk. Må læres. Funker tom på komplekse tall.
Fullstendig kvadrat: halvere, kvadrere. Halver og kvadrer førstegradskoeffisienten. Dersom konstantleddet er høyere enn det du får, så er det ingen løsning, ikke mulig å faktorisere. Får du samme så er det et fullstendig kvadrat. Eks x²+4x+4 er et fullstendig kvadrat med EN løsning der parabelen toucher x-aksen. Da kan du bruke 1 og 2 kvadratsetninger baklengs.
Mangler førstegradsleddet og konstanten er lavere enn null så kan du bruke 3 kvadratsetning. Også lett å regne ut: x²-4=0 x²=4 x=+-[rot][/rot]4
x=-+2 Faktorisering: (x-2)(x+2)[rot][/rot]
Dersom grafen krysser x-aksen på f.eks 2, så har du en faktor (x-2)
det vil si at når x=2 så er uttrykket på null.
Ofte vil den ha to løsninger (to steder der den krysser x-aksen) fordi grafen er en parabel, en bue som krysser på to steder.
I noen tilfelle er det bare en løsning fordi parabelens bunn eller topp-punkt "toucher" x-aksen på bare ett sted, det er det vi kaller et fullstendig kvadrat.
Eksempel er x² der x må være 0 for at funksjonen skal være 0 og "krysse x-aksen. Så faktoren er x-0 som er x
Andre ganger har ikke grafen nullpunkt, og da kan den ikke faktoriseres. Et eksempel er x² +x + 100 Her vil parabelen med første øyekast havne langt borte fra x-aksen, fordi konstantleddet er så høyt.
Det er to kjappe måter å finne nullpunktene (faktorene):
Kalkulator (1): Graph, slå inn funksjonen, DRAW - tegn grafen, SHIFT-GSOLV-ROOT. Kalkulatoren kommer opp med x-verdier som krysser x-akse. Er det flere, trykk pil høyre for neste. Faktoriseringen blir (x-x1)(x-x2) der x1, x2 er løsningene fra kalkulatoren.
Kalkulator (2): EQUA-Poly (F2) 2grad (F1)
Slå inn koeffisientene for utrykket. Dersom det ikke er alle ledd, slå null. Dvs x²+x blir 1,1,0 og x²-2 blir 1,0,-2 Trykk SOLV for løsninger.
Manuelle metoder:
Andregradsformelen. Den har fordelen at den kan gi eksakte svar, et must for videregående matematikk. Må læres. Funker tom på komplekse tall.
Fullstendig kvadrat: halvere, kvadrere. Halver og kvadrer førstegradskoeffisienten. Dersom konstantleddet er høyere enn det du får, så er det ingen løsning, ikke mulig å faktorisere. Får du samme så er det et fullstendig kvadrat. Eks x²+4x+4 er et fullstendig kvadrat med EN løsning der parabelen toucher x-aksen. Da kan du bruke 1 og 2 kvadratsetninger baklengs.
Mangler førstegradsleddet og konstanten er lavere enn null så kan du bruke 3 kvadratsetning. Også lett å regne ut: x²-4=0 x²=4 x=+-[rot][/rot]4
x=-+2 Faktorisering: (x-2)(x+2)[rot][/rot]
-
Guest
Skal det ikke være a(x-x1)(x-x2) ?[/b]Candela wrote:Gitt likningen ax^2 + bx +c = 0
Vi får løsningene x_1 og x_2
Da kan likningen faktoriseres til (x-x_1)(x-x_2).
= x^2 - xx_2 - xx_1 + x_1x_2
= x^2 + x(-(x_2+x_1)) + (x_1)(x_2)
Hvilket gir oss at
b = -(x_2+x_1)
c = (x_1)(x_2)