Bevis

[Krisse]

Skjønner ikke dette her med bevis. Nå er oppgaven å bevise at hvis x er oddetall og y er oddetall <=> x * y oddetall. Hvordan setter man opp det? I det hele tatt skjønner jeg ikke hvordan man beviser to ekvivalente uttrykk.

[sEirik]

Hint: et oddetall kan skrives som [tex]2n-1[/tex], der n er et naturlig tall. Hva blir produktet av to slike tall (f.eks. [tex]2a-1[/tex] og [tex]2b-1[/tex])? Står de på formen [tex]2n - 1[/tex], der n er et helt tall?

Skal bevise det her under, men prøv selv først.















(1) Gitt to oddetall p og q der [tex]p = 2a-1[/tex] og [tex]q = 2b-1[/tex] og [tex]a \in N[/tex] og [tex]b \in N[/tex] (dvs. a og b er naturlige tall).

(2) Produktet av p og q = [tex](2a-1)(2b-1) = 4ab - 2a - 2b + 1 = 2(2ab - a - b + 1) - 1[/tex]

(3) Produktet står på formen [tex]2n - 1[/tex], der [tex]n = 2ab - a - b + 1[/tex].

(4) Altså er produktet av p og q et oddetall.

Q.E.D.

[Solar Plexsus]

Anta at x og y er oddetall. Da finnes det to heltall m og n slik at x=2m+1 og y=2n+1. Dermed blir

[tex]xy \;=\; (2m \:+\: 1)(2n \:+\: 1) \;=\; 4mn \:+\: 2m \:+\:2n \:+\: 1 \;=\; 2(2mn \:+\: m \:+\:n) \:+\: 1.[/tex]

Sett [tex]p = 2mn \:+\: m \:+\:n.[/tex] Da er p et heltall, som igjen innebærer at [tex]xy \:=\: 2p \:+\: 1[/tex] er et oddetall.

[Krisse]

Åååja! ^^ Tuusen takk! Dere har redda dagen! :-*

[Krisse]

Nå gikk det mye bedre med mange av oppgavene, men i denne er det snakk om primtall. Lyst til å hjelpe meg med denne også? ^^

Bevis at denne setningen er feil:
x er et oddetall => minst ett av tallene x - 2 og x + 2 er et primtall.

[Magnus]

Hvis x er oddetall, så er det åpenbart på formen [tex]2k+1[/tex], hvor [tex]k\in\mathbb Z[/tex].

Dette gir oss da:

[tex]2k + 1 + 2 = 2k+3[/tex]

[tex]2k + 1 -2 = 2k - 1[/tex]

Fra dirichlets teorem vet vi nødvendigvis at det må finnes uendelig mange primtall på formen 2k+3, og 2k - 1, men de trenger ikke nødvendigvis være primtall for alle k.


Vi lar for eksempel k = 11, k =23

[tex]2*11 + 3 = 25 = 5*5[/tex]
[tex]2*11 - 1 = 21 = 7*3[/tex]

[tex]2*23 + 3 = 49 = 7*7[/tex]

[tex]2*23 - 1 = 45 = 9*5[/tex]

[Krisse]

Oi, nå gikk det over på et for høyt nivå =P Hva betyr den Z'en? Og hva er dirichlets teorem (hehe, hvis man nevner den på matteprøven er det kanskje positivt!)? Og ble det bevist at setningen var feil?

[Magnus]

[tex]k\in\mathbb Z[/tex] betyr alle K som er hele tall.

Drit i dirichlets teorem.

Bare se på følgende:

Hvert oddetall, kan skrive på formen x = 2k+1. Da får vi at x+2 = 2k+3 og x-2 = 2k-1.

Setter k lik 11, og observerer at da er ingen av disse primtall, og vi har et motbevis.

[Krisse]

Aha! Tusen takk ^^

Det er lys i enden av tunellen!