taylorpolynom

[annavonvel]

Er det noen som er flinke til å derivere her?

Jeg skulle gjerne sett utregningen av taylorpolynomet til f (X) = ln((1+x2
)^2) om punktet a=0, opp til og med tredjederivert....

i fasit skal det være 2/3 foran x^3 leddet, men jeg får minus 1/3...hmmm...

[Cauchy]

Hmm...$f(x)=\ln (1+x^2)$ altså. Synes det høres rart ut at den skal ha noe ledd med $x^3$ uansett, da funksjonen er jevn om $x=0$...Har jeg misforstått helt, mulig det har gått litt fort. Du mener ikke på $x^6$ da, det som tilsvarer $x^3$ i rekka til $\ln (1+x)$. Der tror jeg iallefall det skal være $\frac{1}{3}$. Eller har jeg misforstått helt her?

[annavonvel]

Nei, funskjonen er f (x) = ln ((1+x)^2) , altså både en og x opphøyd i andre----og oppgaven er som fælger; finn koeffisienten foran x^3 til taylorpol til funksjonen.

Jeg er i grunnen ganske ln forvirret.... Kan jeg si at

f(x)= ln ((1+x)(1+x)) som da er lik

ln (1+x) + ln (1+x) som da derivert er

1/(1+x) + 1/(1+x) som gir

2/ (1+x) til førstederivert??

HEY, da fikk jeg jo 2/3 foran x^3...

da regner jeg med at d kan tenkes sånn....

ln er en luring

kan jo kanskje slenge på noen flere spørsm

hvis du skal finne løsn til diff ligningen; y' + 2y = 2

så gir fasiten y = 1 + Ce^-2, men jeg får pluss 2....



OG siden ln ikke er min venn, så klarer jeg heller ikke å løse diff lign

(x^2-1)y'= y, der x > 1 og y(2) = 1/ kvadratroten til 3

Hvis d i d hele tatt blir svart på noe er jeg lykkelig!
Hvis det i det hele tatt blir svart på noe av dette er jeg lykkelig!

[mathvrak]

??

først
ln((1+x^2))

nå
f (x) = ln ((1+x)^2)

Du mener det siste ikke sant?

[annavonvel]

ja, beklager; mener d siste!!!
|

[Markonan]

Heisann! Går gjennom gamle MAT-INF1100 eksamener foran eksamen i morgen, og da kom jeg over denne oppgaven!

Har mye å gjøre, så tar det bare kjapt.
$f(x)=ln((1+x{)}^2)\to f(0)=0$

$f^{,}(x)=\frac{2}{1+x}\to f^{,}(0)=2$

$f^{,,}(x)=-\frac{2}{(1+x{)}^2}\to f^{,,}(0)=-2$

$f^{,,,}(x)=\frac{4}{(1+x^3)}\to f^{,,,}(0)=4$

Dette gir Taylorpolynomet:
$0+2x-\frac{-2}{2}{x}^2+\frac{4}{6}{x}^3$

Leddet foran x^3 kan forkortes:
$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
Riktig svar!

Du får ha lykke til i morgen, og hvis du ser noen som faller gråtende på gulvet midt under eksamen, er det sikkert meg.

Ah, du klarte jo oppgaven selv jo!

[Markonan]

$y^{,}+2y=2$

Fra formelen har vi at f(x) = 2 som gir F(x) = 2x, da ganger vi inn med e^2x
$e^{2x}{y}^{,}=2e^{2x}$

$e^{2x}y=2\int e^{2x}$

$e^{2x}y=2[\frac{1}{2}{e}^{2x}]+C$

$e^{2x}y=e^{2x}+C$

Ganger begge sider med e^{-2x}, da får vi fjernet e^{2x}
$y=1+C{e}^{-2x}$

[Markonan]

Men jeg trenger faktisk også hjelp med den siste oppgaven.

Differensialligningen:
$(x^2-1)y^{,}=y$
med initialverdi y(2) = 1/ [symbol:rot] 3 har løsningen?

Dette er mine beregninger.
$y^{,}=\frac{y}{(x^2-1)}$

$\frac{y^{,}}{y}=\frac{1}{x^2-1}$

Integrerer på begge sider:
$\int \frac{dy}{y}=\int \frac{1}{x^2-1}$
Det er her det stopper opp. I Maple får jeg at 1/x^{2}-1 blir arctanh(x)...

$lny=????$

[annavonvel]

Takk for svar!¨

Jeg løste den som en separabel ligning jeg;
y' +2y = 2
y'= 2( 1-y)

y' / (1-y) = 2 osv

MEN jeg er fremdeles forvirret etter å ha puttet så mye rart inn i dette hodet( som tydeligvis ikke har plass til så mye...)
For hvis jeg skal integrere 1/ (1-y), så tenkte jeg det ble ln (1-y),
men ln (1-y) der er vel MINUS 1/ (1-y) og DA blir d bra vettu!

Men ja, den andre opg

Jeg prøvde å bruke delvis int og delte opp i A/ (x+1) + B / (x-1)

får da - 1/2 ln (x+1) + 1/2 ln (x-1) etter intergrasjon

og så hvis du flytter litt rundt på disse halve ( se fasit til siste opg i del to, der gjør de litt det samme) så endte jeg opp med d som står i fasiten MEN med en C foran, som jeg IKKE får til å bli en, men 1 / kvadr til 3..
HMMM

[al-Khwarizmi]

En separabel diff ligning

du deler (x^2-1) på begge sider

y' = y/(x^2-1)

deretter ganger du med invers av y ... tresten fikser du..

[Janhaa]

Men jeg trenger faktisk også hjelp med den siste oppgaven.

Differensialligningen:
$(x^2-1)y^{,}=y$
med initialverdi y(2) = 1/ [symbol:rot] 3 har løsningen?

Dette er mine beregninger.
$y^{,}=\frac{y}{(x^2-1)}$

$\frac{y^{,}}{y}=\frac{1}{x^2-1}$

Integrerer på begge sider:
$\int \frac{dy}{y}=\int \frac{1}{x^2-1}$
Det er her det stopper opp. I Maple får jeg at 1/x^{2}-1 blir arctanh(x)...

$lny=????$

----------------------------------------------------------------------------------

Siden du har regnet nesten ferdig, og jeg er enig, bare avslutter jeg, slik jeg ville gjort det:


$I=\int \frac{dy}{y}=$$\int \frac{dx}{x^2-1}$

altså det er bra med matematikk prg og integralprg, etc, men jeg liker det på den "gammeldagse" måten. Observer at integralet på høyre siden lett løses vha delbrøksoppspalting:

$\frac{1}{x^2-1}=$$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$

som gir A$=-\frac{1}{2}$og$B=\frac{1}{2}$

som gir:

[tex]I\;=\;{ln(y)\;=\;[/tex]$-\frac{1}{2}ln(x+1)+\frac{1}{2}ln(x-1)+C$

[tex]I\;=\;{ln(y)\;=\;[/tex]$\frac{1}{2}ln(\frac{x-1}{x+1})+C$

[tex]I\;=\;{ln(y)\;=\;[/tex]$ln(\frac{x-1}{x+1}{)}^{1/2}+C$

tar e og opphøyer i det, og får:

$y=D(\frac{x-1}{x+1}{)}^{1/2}$

y(2) = 1/ [symbol:rot] (3), gir D=1.

$y=(\frac{x-1}{x+1}{)}^{1/2}$


håper eg...

[Markonan]

Ah, takk for utregningen JanHaa. Det er faktisk helt riktig.