Derivasjon *Hjelp!!!*

[*cathrine*]

Er det noen som klarer å derivere denne? ( x2 står for x i annen)

1/2 ( x √ (x2 + 1) + ln |x + √ (x2 + 1)|)

Svaret skal bli
[symbol:rot] (x2 + 1)

[Markonan]

Denne?

$\frac{1}{2}(x(\sqrt{x^2+1})+ln|x+\sqrt{x^2+1}|)$

[*cathrine*]

Ja, denne.

Den skal deriveres, og jeg får det ikke helt til... Klarer du det tror du ?

[daofeishi]

$f(x)=\frac{1}{2}(x(\sqrt{x^2+1})+ln|x+\sqrt{x^2+1}|)$

La oss ta denne del for del.

Vi bruker produktregelen på første ledd
$\frac{d}{dx}(x\sqrt{x^2+1})=1\cdot \sqrt{x^2+1}+x\cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}$

Er du heldig, vet du at $ln|x+\sqrt{x^2+1}|={\sinh }^{-1}(x)$ og at $\frac{d}{dx}{\sinh }^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
Hvis ikke, kjerneregelen på andre:
$\frac{d}{dx}(ln|x+\sqrt{x^2+1}|)=\left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})=\left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)\left(\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

Vi får da:
$f\prime (x)=\frac{1}{2}(\frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}})=\sqrt{x^2+1}$

Hvis jeg gikk litt for fort fram her, eller noe er uklart, bare spør.

[*cathrine*]

Jeg tror dette var greit. Harde dager å begynne på nå etter ferien vet du. Får det til nå

Tusen takk, og god helg!

Klems