"Totalt differensial"

[tosken]

Læreren nevnte i dag at det ville gå mye hurtigere å løse en integrasjonsoppgave dersom vi kunne noe han kalte for "totalt differensial?"

Hva er dette egentlig for noe?

[Cauchy]

Vet ikke helt om du har forutsetningene for å få tak på dette, kan bli tungt dersom du ikke har noen bakgrunn i multivariabel kalkulus, men kan jo prøve å forklare det enkleste tilfellet.

For en funksjon av 2 variable $u=u(x,y)$ som har kontinuerlige partielle deriverte sier vi at differensialet, eller det totale differensialet, er
$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$. Dette kan enkelt generaliseres til vilkårlig mange(men endelig antall) dimensjoner.

Sammenhengen med differensialligninger er flg:
Anta du har en diff.lign som kan skrives på formen $A(x,y)dx+B(x,y)dy=0$. Dette kalles forøvring en eksakt diff.lign. dersom differensialformen $A(x,y)dx+B(x,y)dy$ er eksakt. Dvs at differensialet $du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$ stammer fra en funksjon $u(x,y)$.
Hvis vi er i denne situasjonen kan vi skrive hele differensialligningen
$du=0$. Da følger det direkte at løsningen er $u(x,y)=c$, hvor c er en konstant.

Ved sammenligning finner vi at den opprinnelige differensialligningen er eksakt dersom det finnes en funksjon $u=u(x,y)$ slik at
$\frac{\partial u}{\partial x}=A(x,y)$ og
$\frac{\partial u}{\partial y}=B(x,y)$.
Disse ligningene kan vi da integrere opp og bestemme løsningen.

En annen ting vi kan merke oss ganske raskt er om vi antar at $A$ og $B$ er definert og har kontinuerlige første ordens partielle deriverte i et domene av xy-planet(som skal ha en lukket grense som ikke skjærer seg selv), så må $\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}$.
Noen som vet hvorfor?

[Cauchy]

Ser jeg har lest feil i spørsmålet ditt. Svarer jo på hvordan man bruker dette til å løse diff.ligninger. Det er dette jeg er vant til å bruke det til Integrasjonsoppgaver bruker det samme, bare "andre veien".

[tosken]

Takk for utfyllende svar. Men gjelder det bare integrasjon av differensial ligninger?

F.eks det går an å integrere dette utrykket ved denne metoden? (som jeg ellers ville integrert ved hjelp av delvis integrasjon)?

[symbol:integral] 2x [symbol:rot] (2x^2+1)dx

[sEirik]

Sikker på at du ikke ville brukt variabelskifte på den siste der? Med $u=2x^2+1$ ?

[Cauchy]

Han lurte vel på hvordan han kunne bruke differensialer for å beregne integralet, selv om substitusjon fungerer fint. Det man bør gjøre er å danne et differensial inne i integralet, tror jeg. Har aldri begregnet det slik selv før, men antar det er noe ala det man gjør i delvis integrasjon(hvor man bytter differensial egentlig, hvis du kjenner hele bakgrunnen for "formelen"), men differensialer er ikke så hjelpsomt i 1 variabel(mener jeg iallefall) som det er i flere