Jeg skal ha eksamen i matte om en uke, og har brukt mange mange timer på å skjønne hva det vil si å bruke implisitt ved derivasjon av feks x^2y= 6
skal finne både første og andre deriverte. Men jeg forstår det bare ikke, noen som kan hjelpe meg å forklare det?
Implisitt Derivasjon
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Alt du trenger å benytte deg av for å skjønne implisitt derivasjon er de vanlige derivasjonsreglene. Dersom du har den implisitte funksjonen [tex]x^2y=6[/tex] og vil derivere med hensyn på x, benytter du deg av følgende:
Derivatet av begge sidene må være like:
[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}x^2y = \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}6 \\ \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}x^2y = 0[/tex]
Produktregelen:
[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}x^2y = y\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}x^2 + x^2 \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} y [/tex]
Kjerneregelen:
[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} f(y) = \frac{{\rm d}f(y)}{{\rm dy}}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}[/tex]
Når dette kommer sammen, får vi følgende:
[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}x^2y = \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}6 \\ \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}x^2y = 0 \\ y\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}x^2 + x^2 \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} y = 0 \\ 2xy +x^2\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = 0 \\ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = -\frac{2xy}{x^2} = -\frac{2y}{x}[/tex]
Derivatet av begge sidene må være like:
[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}x^2y = \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}6 \\ \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}x^2y = 0[/tex]
Produktregelen:
[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}x^2y = y\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}x^2 + x^2 \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} y [/tex]
Kjerneregelen:
[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} f(y) = \frac{{\rm d}f(y)}{{\rm dy}}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}[/tex]
Når dette kommer sammen, får vi følgende:
[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}x^2y = \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}6 \\ \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}x^2y = 0 \\ y\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}x^2 + x^2 \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} y = 0 \\ 2xy +x^2\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = 0 \\ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = -\frac{2xy}{x^2} = -\frac{2y}{x}[/tex]