Grensesetting ved trippel/dobbeltintegraler

[erlends]

Hei!

Sitter og sliter med dette nå før eksamen i Mat1110 (kalkulus/lineær algebra). Jeg skjønner ikke helt prinsippet. Skal man tenke: "hvor langt skal jeg gå på de forskjellig aksene" ?

Eks på oppgave jeg ikke klarer:

[symbol:integral] [symbol:integral] [symbol:integral] (3+2xy)dV over D, hvor D er: solid hemispherical dome given by x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup] <=4 og z>=0.

Takker for svar!

Mvh.

[Magnus]

Som regel integrerer du m.h.p z først og setter dermed z-koordinaten innerst. Du får da $0<z<\sqrt{4-y^2-x^2}$

Så innfører du sylinderkoordinater. Dette gir oss da
$x=r\cos \theta$
$y=r\sin \theta$
$x^2+y^2=r^2$

Setter du inn det i z-grensen får du $0<z<\sqrt{4-r^2}$

Når du gjør om til sylinderkoordinater får du at $dV=r\cdot dzdrd\theta$

Så må du bare finne ut rimelige verdier på r og $\theta$. Dette gjør du ved å sette z=0 og se på projeksjonen i xy-planet.

[erlends]

Takker!

Nå kom jeg litt videre. Setter jeg z=0 får jeg en sirkel med radius 2. Dermed r=0-2, og theta=0-2 [symbol:pi] , er det riktig?

Ellers har jeg fått dette integralet (litt vanskelig, så lurer på om jeg er på bærtur):

[symbol:integral] [symbol:integral] (3+2t+cos[theta]rsin[theta])( [symbol:rot] 4-r [sup]2[/sup])rdrd[theta]

[Janhaa]

Takker!
Nå kom jeg litt videre. Setter jeg z=0 får jeg en sirkel med radius 2. Dermed r=0-2, og theta=0-2 [symbol:pi] , er det riktig?
Ellers har jeg fått dette integralet (litt vanskelig, så lurer på om jeg er på bærtur):
[symbol:integral] [symbo:integral] (3+2t+cos[theta]rsin[theta])( [symbol:rot] 4-r [sup]2[/sup])rdrd[theta]

Har du fasit, så kan jeg evt regne på oppgava...

[erlends]

Ja, svaret skal være 16 [symbol:pi]

Tusen takk!

[mrcreosote]

Det er vel grensesetting som er det vanskeligste for de fleste med trippelintegraler, og jeg skjønner det er det du vil trene på her. Allikevel kan det være lurt å lære seg å kontrollere om svaret en får gir mening.

Vi ser det er snakk om ei halvkule med radius 2. Denne har volum 16pi/3. Derfor blir [symbol:integral] [symbol:integral] [symbol:integral] 3 dV = 3*16pi/3=16pi. Å integrere xy vil ikke bidra med noe siden volumet vi integrerer over er symmetrisk omkring x- og y-aksen. Dermed blir det søkte svar 16pi.

[TurboN]

Det letteste av alt etter min mening er å integrere mhp, en av variablene, for så å innføre polarkoordinater.

${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^2{\int }_0^{\sqrt{4-x^2-y^2}}3+2xydz\ast rdrd\theta$

${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^2(3\ast \sqrt{4-x^2-y^2}+2xy\ast \sqrt{4-x^2-y^2})rdrd\theta$

${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^2(3\ast \sqrt{4-r^2}+2r^{2}Sin\theta \ast Cos\theta \sqrt{4-r^2})rdrd\theta$

$Sin\theta \ast Cos\theta$ er en ulik funksjon og vil gi 0 når du integrerer mhp $d\theta$

Står igjen med
$6\pi {\int }_0^{2}r\ast \sqrt{4-r^2}dr=16\pi$

Dette er det samme som skjer ved sylinderkoordinater, men det kanskje lettere å se for seg at man tvingere integrasjonen ned i planet for så å innføre velkjente polarkoordinater