integral

[janneamble]

skjønner ikke disse.man skal finne integralene. tror man må bruke variabelskifte på dem.

[symbol:integral] tanx/cosx^2 dx

[symbol:integral] cosxsinx^2 dx

[symbol:integral] x/ [symbol:rot] x^2-1 dx

[symbol:integral] (lnx)^2/x dx



skjønner går som privatist og er ikke alt vi får gått igjennom på kveldsskolen, og jeg er ikke en som tar matte som noe lett. derfor jeg spør om mye.

[kalleja]

hei dette er variabelskifte ja
a)
[tex] \int \frac {tan(x)}{cos^2x} dx [/tex]

vi setter u= tanx altså du = [tex] \frac 1 {cos^2x} [/tex]

vi får da:

[tex] \int u du = \frac 12 u^2 [/tex]

setter inn for u:

[tex] \frac 12 tan^2x + C [/tex]

[kalleja]

b)
[tex] \int \frac {cosx}{sin^2x} dx [/tex]

Vi setter u = Sinx og du blir da = cos x

Setter inn for u:

[tex] \int \frac 1 {u^2} du = \int u^{-2} du [/tex]


[tex] = -u^{-1} +C[/tex]

Setter inn for u:

[tex] - \frac 1 {sinx} + C [/tex]

c)

[tex] \int \frac x {\sqrt{x^2 -1}} dx [/tex]

Setter u = x^2 du = 2x

[tex] \frac 12 \int \frac 1 {\sqrt u} du [/tex]

[tex] =\frac 12 \int u^{-\frac 12 } du = \frac 12 \cdot 2u^{\frac 12} +C [/tex]


Vi setter inn for u :

[tex] \sqrt{x^2-1} +C [/tex]

[kalleja]

d)

[tex] \int \frac {ln^2x}x dx [/tex]

vi setter u = lnx altså du = 1/x

[tex] \int u^2 du = \frac 13 u^3 +C [/tex]

Setter inn for u:

[tex] \frac 13 ln^3x +C [/tex]

finito

[Markonan]

Edit
Ah, så ikke at du tok den. Men går litt mer i detalje, så lar den stå.

Du trenger ikke unnskylde for å stille mange spørsmål, Janne.
Det er tross alt sånn man lærer!

c)

[tex]\int\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx[/tex]

Integrasjon ved substitusjon (eller variabelskifte om du vil).

Setter
[tex]u = x^2-1[/tex]

deriverer og setter dx alene:
[tex]\frac{du}{dx} = 2x[/tex]

[tex]du = 2xdx[/tex]

[tex]dx = \frac{1}{2x}du[/tex]

Setter inn u og bytter dx med du og sitter igjen med:
[tex]\int\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx\;=\;\int\frac{x}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{2x}du[/tex]

Stryker x'ene og setter konstanten utenfor:
[tex]\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{u}}[/tex]

[tex]\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{u} + C[/tex]

[tex]\sqrt{u} + C\;=\;\sqrt{x^2-1} + C[/tex]

[kalleja]

keep'em comming please [tex] \int [/tex] er artig. ^^

[Markonan]

Og en finn liten side for de som vil lære integrasjon ved substitusjon!
http://archives.math.utk.edu/visual.cal ... index.html

De går gjennom hvert skritt i mange forskjellige eksempler.

[janneamble]

tusen takk.

[sEirik]

Annen metode:

[tex]I = \int \frac{\tan x}{\cos^2 x} {\rm d}x = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\cos^2 x} {\rm d}x = \frac{\sin x}{\cos^3 x} {\rm d}x[/tex]

[tex]u = \cos x[/tex]

[tex]{\rm d}x = -\frac{1}{\sin x} {\rm d}{u}[/tex]

[tex]I = \int -\frac{1}{u^3} {\rm d}u = -u^{-3} {\rm d}u = \frac{1}{2}u^{-2} + C = \frac{1}{2\cos^2 x} + C[/tex]

[Frøken Eie]

Lær integrasjonsteknikker i flash:
http://archives.math.utk.edu/visual.cal ... index.html

takk

[daofeishi]

Tredje metode, delvis integrasjon, bare for moro skyld:

[tex] I = \int \frac{\tan(x)}{\cos^2(x)} = \int \tan(x)\sec^2(x) = \tan^2(x) - \int \tan(x)\sec^2(x) [/tex]

[tex]2I = \tan^2(x) \\ I = \frac{1}{2}\tan^2(x) + C[/tex]

Som er ekvivalent med Eiriks svar siden [tex]\frac{1}{2}\tan^2(x) = \frac{1}{2}\sec^2(x) - \frac{1}{2}[/tex]

[=)]

på oppgave c) ville det ikke vært lettere å utnytte kjerneregelen her?

[tex]\int f^,(g(x)) g^,(x) \;dx = f(g(x))[/tex]

[tex]\int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \;dx = \int \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}2x \;dx = \sqrt{x^2 - 1} + C[/tex]