Oppgave: Utled derivasjonsformelen for sin(x) fra definisjonen av den deriverte.
Jeg klarer ikke å se hvordan jeg skal gå på en slik oppgave, hvis det er noen som vet om det er et bra sted slike ting blir forklart er jeg også takknemlig.
utledning av sin(x) derivasjon
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg fant dette i en bok jeg har. Skriver den inn her:
Minner om definisjonen av den deriverte:
[tex]D[y] = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} [/tex]
Vi setter opp uttrykket for sinusfunksjonen og bruker formelen for sinus til en sum:
[tex]\frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {\sin (x + \Delta) x-\sin x}{\Delta x} = \frac {\sin x \cdot \cos \Delta x + \sin \Delta x \cdot \cos x - \sin x}{\Delta x}[/tex]
Vi skriver om på uttrykket og får:
[tex]\frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {\sin x \cdot \cos \Delta x-\sin x}{\Delta x} + \frac {\sin \Delta x \cdot \cos x}{\Delta x} [/tex]
Vi faktoriserer:
[tex]\frac{\Delta y}{\Delta x} = - \frac {1-\cos \Delta x}{\Delta x} \cdot \sin x + \frac {\sin \Delta x}{\Delta x} \cdot \cos x[/tex]
*Kommentar* : Her må man huske på to grenseverdier:
[tex]\lim_{v \rightarrow 0} \frac {\sin v}{v} = 1[/tex] og [tex]\lim_{v \rightarrow} \frac {1-\cos v}{v} = 0[/tex]
Vi lar [tex]\Delta x \rightarrow 0[/tex] og finner den deriverte av sinusfunksjonen:
[tex]D[\sin x] = \cos x[/tex]
Edit: Endret en parantes
Last edited by Chepe on 02/09-2007 00:13, edited 2 times in total.
