Finn alle funksjoner

[mrcreosote]

Finn alle funksjoner f definert på $\mathbb{R}$ som er slik at

$f(x+y)\le f(x)+f(y)$ for alle reelle x,y

og

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x}=1$

Jeg vil påstå at denne oppgava er noe lettere enn de tidligere funksjonalligningene som ligger ute på forumet.

[sEirik]

Vi begynner med å legge merke til at

$f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)$

Altså må $f(0)=0$. Vi setter

$f(1)=a$

Da er $f(2)=f(1+1)=2f(1)=2a$

$f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=3a$

og så videre. Vi ser jo (kan også bevises med induksjon) at alle løsninger er lik $f(x)=ax$.

Så er det neste krav,

$\underset{x\to }{lim}\frac{ax}{x}=1$

Som opplagt må bety at $a=1$.

$f(x)=x$ er eneste løsning.

Hmm, eller nå har jeg kanskje regna som om x hele tiden er et helt tall, det kan jo være det gir feil konklusjon.

[mrcreosote]

Noen ganger pakker man inn orda, andre ganger, som nå, sier man bare slett arbeid.

[arildno]

Huff, for en tabbe av meg..

[arildno]

Tja, vi har jo:
$f(x+y)-f(y)\le f(y)$
Videre, divisjon med x gir:
$\frac{f(x+y)-f(y)}{x}\le \frac{f(x)}{x}$
Hvor av følger:
$\frac{df}{dx}\le 1$
for alle x.

Kanskje kan det brukes til noe?

[sEirik]

Noen ganger pakker man inn orda, andre ganger, som nå, sier man bare slett arbeid.

Takk da

[sEirik]

Å nei, nå ser jeg det :_P

Jeg har jo lest $\le$-tegnet som et =-tegn! Da skjønner jeg hvorfor jeg har fått så rart svar.