Polynomer og n-te-gradslikninger

[CrizzBee]

Jeg trenger litt hjelp med en oppgave her, som jeg ikke helt vet hvordan jeg skal begynne.


Vi sier at Zo er en m-dobbel rot av P, dersom P(Z)=(Z-Zo)^m*Q(Z), der Q(Z) er et polynom som ikke er null når Zo=0. Vis at dersom Zo er dobbel rot av P, så er Zo også rot i den deriverte av P.

[mrcreosote]

Dette er rett fram: Finn P'(z) ved å derivere og bekreft at P'(z_o)=0.

[CrizzBee]

Noen som kan hjelpe meg litt med deriveringen av P(z)?

[arildno]

Noen som kan hjelpe meg litt med deriveringen av P(z)?

Bruk produktregelen. m er et heltall større eller lik 2.

[CrizzBee]

Noen som kan hjelpe meg litt med deriveringen av P(z)?

Bruk produktregelen. m er et heltall større eller lik 2.

Tror nok jeg trenger litt mer hjelp enn som så...
Produktregelen er jo grei å følge, men da må jeg vite hva (z-z_o)^m er derivert er, og hva Q'(z) er. Det er der derivasjonskunnskapene mine stopper litt opp.

[arildno]

Noen som kan hjelpe meg litt med deriveringen av P(z)?

Bruk produktregelen. m er et heltall større eller lik 2.

Tror nok jeg trenger litt mer hjelp enn som så...
Produktregelen er jo grei å følge, men da må jeg vite hva (z-z_o)^m er derivert er, og hva Q'(z) er. Det er der derivasjonskunnskapene mine stopper litt opp.

Hvorfor må du "vite" det??
Du får:
[tex]\frac{dP}{dz}=m*(z-z_{0})^{m-1}Q(z)+(z-z_{0})^{m}\frac{dQ}{dz}[/tex]
Når m>1, hva er da P', evaluert i z0?

[CrizzBee]

Jeg får det fortsatt ikke til...?

[arildno]

Putt inn z0 i uttrykket for P' (P derivert), under forutsetning m>=2. Hva får du?

Hva er definisjonen av roten til et polynom?

[CrizzBee]

Putt inn z0 i uttrykket for P' (P derivert), under forutsetning m>=2. Hva får du?

Hva er definisjonen av roten til et polynom?

Definisjonen til roten av et polynom:
Et tall a er rot i polynomet P(x) hvis og bare hvis P(x) er delig med x-a.

Hva mener du med å putte inn z0 i uttrykket for P' ?

[arildno]

Bruk produktregelen. m er et heltall større eller lik 2.

Tror nok jeg trenger litt mer hjelp enn som så...
Produktregelen er jo grei å følge, men da må jeg vite hva (z-z_o)^m er derivert er, og hva Q'(z) er. Det er der derivasjonskunnskapene mine stopper litt opp.

Hvorfor må du "vite" det??
Du får:
[tex]\frac{dP}{dz}=m*(z-z_{0})^{m-1}Q(z)+(z-z_{0})^{m}\frac{dQ}{dz}[/tex]
Når m>1, hva er da P', evaluert i z0?

Betrakt altså FUNKSJONEN dP/dz(z):
Vi har:
[tex]\frac{dP}{dz}(z_{0})=m*(z_{0}-z_{0})^{m-1}Q(z_{0})+(z_{0}-z_{0})^{m}\frac{dQ}{dz}(z_{0})=??????[/tex]
Kan du erstatte spørsmålstegnene med et kjent tall?

[CrizzBee]

Takk, den satt langt inne... P'(z0)=0.