Definisjon: Et tall a kalles et opphopningspunkt for følgen [tex]\{x_n\}[/tex] dersom det for hver [tex]\epsilon > 0[/tex] finnes uendelig mange tall [tex]n \in N[/tex] slik at [tex]|x_n - a| < \epsilon[/tex].
a) a er et opphopningspunkt for [tex]\{x_n\}[/tex] hvis og bare hvis en delfølge av [tex]\{x_n\}[/tex] konvergerer mot a. (Dette har jeg vist)
b) Enhver begrenset følge har et opphopningspunkt. (Dette har jeg vist)
c) Vis at en begrenset følge konvergerer hvis og bare hvis den har nøyaktig ett opphopningspunkt.
Det er da oppgave c) jeg sliter med.
Har følgende setninger til hjelp:
Jeg har valgt å skru det sammen sånn her:=== Teorem ===
4.4.2 Hvis [tex]\{x_n\}[/tex] konvergerer mot x, vil alle delfølger av [tex]\{x_n\}[/tex] konvergere mot x.
4.4.3 Enhver følge har en monoton delfølge
4.4.4 Enhver begrenset følge har en konvergent delfølge
4.4.5 Enhver begrenset følge av komplekse tall har en konvervent delfølge
4.4.7 Enhver konvergent følge er en Cauchy-følge.
4.4.8 Enhver Cauchy-følge er begrenset.
4.4.9 Dersom en Cauchy-følge [tex]\{x_n\}[/tex] har en delfølge som konvergerer mot x, så konvergerer også [tex]\{x_n\}[/tex] selv mot x.
4.4.10 En følge av reelle tall konvergerer hvis og bare hvis den er en Cauchy-følge.
Vi skal vise en ekvivalens, nemlig
Jeg velger da å først vise implikasjon mot høyre, og så vise implikasjon mot venstre.[tex]\{x_n\}[/tex] konvergerer [tex]\ \Longleftrightarrow \ \{x_n\}[/tex] har nøyaktig ett opphopningspunkt
Implikasjon mot høyre:
Siden [tex]\{x_n\}[/tex] konvergerer, må den (fg. oppgave b) ha et opphopningspunkt. Det som gjenstår å vise, er at [tex]\{x_n\}[/tex] ikke kan ha flere opphopningspunkter.
Anta for selvmotsigelse at [tex]\{x_n\}[/tex] har flere opphopningspunkter. Da er [tex]\lim_{x \rightarrow \infty} x_n = x[/tex] et opphopningspunkt, mens a er et annet opphopningspunkt, der [tex]a \not = x[/tex]. Da kan umulig [tex]\{x_n\}[/tex] også konvergere mot a. Men siden a er et opphopningspunkt for [tex]\{x_n\}[/tex], må det (jf. oppgave. a) eksistere en delfølge av [tex]\{x_n\}[/tex] som konvergerer mot a. Siden [tex]\{x_n\}[/tex] konvergerer, er den en Cauchy-følge (jf. setning 4.4.7). Når [tex]\{x_n\}[/tex] har en delfølge som konvergerer mot a, må den (jf. setning 4.4.9) selv konvergere mot a, og dette er en selvmotsigelse. Konklusjonen er at [tex]\{x_n\}[/tex] umulig kan ha flere opphopningspunkter.
Det jeg nå sliter med, er å vise implikasjonen mot venstre!