Prøblemløsning

[Mayhassen]

Etter anbefaling fra Daofeishi kjøpte jeg meg boka The art and craft of problemsolving for å prøve å bli flinkere i matte. Det er en ny type oppgaver jeg møter her, aldri løst slike før og det er jo interessant, men jeg må innrømme at nivået her er endel over mitt eget.

Holdt på med en her som sier:

Define [tex]f(x)=\frac{1}{1-x}[/tex] and denote r iterations of the function f by [tex]f^r[/tex]. Compute [tex]f^{1999}(2000)[/tex]

Jeg begynte å taste litt inn på kalkulatoren min siden jeg har null peiling på hvordan løse slikt. Jeg fant derimot ut etterhvert at et mønster kom opp, og det er dette jeg skal lete etter ifølge boka også. Fant ut at de samme svarene kom ut hver fjerde gang. Altså [tex]f^1(2000)=f^4(2000)=f^8(2000)[/tex], samme gjaldt for [tex]f^2(2000)=f^5(2000)=f^9(2000)[/tex]

Når jeg da skulle løse oppgaven tenkte jeg at når 1999+1=2000 som da blir delelig på 4 så må dette være lik f(x)=f^4(x) i mitt hode, da skulle vel [tex]f^{1999}(2000)=f^3(2000)=2000[/tex]

Blir dette riktig? Og hvordan skal man egentlig gjøre slike ting?

[Karl_Erik]

Tankegangen din ser ut til å stemme. Hvis funksjonen gjentar seg periodisk som denne gjør kan du bruke dette til å finne ut hva [tex]f^{1999}(2000)[/tex] er. Det som kanskje skurrer bittelitt er detaljene. [tex]f^{1}(2000)[/tex] er jo som du sier lik [tex]f^{4}(2000)[/tex]. Den er dog ikke lik [tex]f^{8}(2000)[/tex], men [tex]f^{7}(2000)[/tex]. Med unntak av det ser alt ut til å stemme ganske greit.

Måten jeg ville gått fram for å løse denne typen oppgaver er den samme som du gjorde den på. Først ville jeg regnet ut [tex]f^{1}(2000)[/tex], [tex]f^{2}(2000)[/tex] , [tex]f^{3}(2000)[/tex] og så videre til jeg så et mønster hvis ikke dette ble altfor tidkrevende. Når man ser at [tex]f^{1}(2000)[/tex] er den samme som [tex]f^{4}(2000)[/tex] betyr jo det at den gjentar seg periodisk. For sikkerhets skyld ville jeg satt opp [tex]f^4(x)=\frac{1}{1-{f^3 (x)}[/tex] = [tex] \frac{1}{1-{\frac{1}{1-{f^2 (x)}}[/tex] = [tex] \frac{1}{1-{\frac{1}{1-{\frac{1}{1-f^1 (x)}}} [/tex] og forenklet dette til [tex]f^1 (x)[/tex] .

Siden vi nå er sikre så det holder på at funksjonen er periodisk med periode 3, finner vi så ut at 1999 er lik 3*666 + 1 , og at [tex]f^{1999}(2000)[/tex] derfor er lik [tex]f^{1}(2000)[/tex], og regner så ut denne og finner ut at [tex]f^1999(2000) = f^1(2000) = - \frac{1}{1999}[/tex].

[Mayhassen]

Takker!

[mrcreosote]

Et godt kjøp!

Nå skal du se noe ganske stilig; kjenner du til lineære brøktransformasjoner, Möbiustransformasjoner? Ta en titt her: http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation og her: http://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY&NR=1

Med dette språket er altså din f en Möbiustransformasjon. En hendig sak med disse er at det er mulig å regne iterasjoner med matriser:

La [tex]F=\left[\begin{matrix}0&1\\-1&1\end{matrix}\right][/tex]. Prøv å regne ut noen (minst 3...) potenser av F og se hva du får.

Dette kan generaliseres litt også; anta [tex]M=\left[\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right][/tex] og at det(M)=ad-bc=1 og tr(M)=a+d=-1. Det siste kalles trasen, sporet til ei matrise og er rett og slett summen av hoveddiagonalentriene. Den som kan multiplisere matriser er i stand til å vise at M^3=id.

I matematikk er det en sammenheng mellom det meste, prøv å lese om funksjonalrøtter: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=16490
1/(1-x) er altså en tredjerot av identitetsfunksjonen. Se om du klarer å finne noen Möbiustransformasjoner som er fjerderøtter av identiteten!

Mer sammenheng: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=13988 Andre funksjonallikning har en forbindelse til disse transformasjonene.

Veldig mye spennende å oppleve omkring dette temaet, anbefales å ta en kikk på om man er nysgjerrig på komplekse tall og hva disse skal være godt for.

[Mayhassen]

Takk for den mrcreosote, skal se nermere på dette når jeg har tid! Blir endel lesing på egenhånd detta, men gjør jo ingenting, tror at vi skal ha om matriser og komplekse tall etter jul. Skader jo ikke å ligge litt foran hehe, men det er jammen meg mye å ta tak i!

edit
Jeg har en til her som jeg tullet litt med, partallene så jeg ganske fort, men slet litt mer med oddetallene her. Tror jeg har fått det riktig:

For each integer n>1, find distinct positive integers x and y such that [tex]\frac1x + \frac1y = \frac1n[/tex]
Jeg tror at på alle partall så blir x=3n og y=x/2 eller 3n/2 er kanskje mer korrekt måte å skrive det opp på. På oddetallene slet jeg litt mer, men mener jeg har funnet et svar; x=n(n+1) og y=n+1.
Stemmer dette og er det en måte man kan bevise dette på?

[Mayhassen]

Jeg ser nå også at metoden min for å finne x og y til oddetallene funket jo også på partallene Da finnes det sikkert flere løsninger også da, men den generelle og enkleste blir kanskje da:

x=n(n+1)
y=n+1

[Charlatan]

Hva var egentlig oppgaven med F?

Vi ser at [tex]F^3=-I \Rightarrow F^6=I[/tex] Den har periode 6 siden [tex]F\cdot F^{-1}=F^0=I[/tex]

[daofeishi]

Gratulerer med kjøpet, Mayhassen! Husk at det er meningen at boka skal utfordre - enkelte oppgaver kan det ta lang tids tenkning å fullføre. Mange får man ikke gjort på første gjennomlesning av boka. Men man blir ikke sterkere av å løfte fjærvekter.

[Mayhassen]

Boka den utfordrer den ja! Måtte bli ferdig med matteeksamen min før jeg kunne se videre på dette, ble litt teit å lese på masse utenfor pensum rett før eksamen

Men nå går det mot Jul og jeg leste litt på induksjonsbevis, jeg tenkte jeg kunne prøve meg på å bevise den siste oppgaven ovenfor. Mitt første induksjonsbevis:

Påstanden min var:
[tex]P(n):\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{n+1}=\frac1n,n>1[/tex]
Sjekker for n=2:
[tex]P(2):\frac{1}{2(2+1)}+\frac{1}{2+1}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]P(2):\frac{1}{6}+\frac13=\frac12[/tex]
Vi ser det stemmer. Prøver nå å sette inn n+1, siden at det da vil stemme for alle tall fra 2 og til uendelig.
[tex]P(n+1):\frac{1}{(n+1)((n+1)+1)}+\frac{1}{(n+1)+1}=\frac{1}{n+1}[/tex]
trekker sammen og ordner venstresiden:
[tex]P(n+1):\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{n+2}=\frac{1}{n+1}[/tex]
[tex]P(n+1):\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1(n+1)}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}[/tex]
[tex]P(n+1):\frac{n+2}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}[/tex]
[tex]P(n+1):\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+1}[/tex]
Og da tror jeg at jeg er ferdig
Fint å få tilbakemelding på om det er noe som burde gjøres annerledes/bedre

[Magnus]

Nå er vel induksjon litt overkill på den der?

[tex]\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}[/tex]

[Mayhassen]

Hehe, sant nok, men greit å starte med noe enkelt

[TrulsBR]

I matematikk er det en sammenheng mellom det meste, prøv å lese om funksjonalrøtter: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=16490
1/(1-x) er altså en tredjerot av identitetsfunksjonen. Se om du klarer å finne noen Möbiustransformasjoner som er fjerderøtter av identiteten!

Jeg har sett litt på det å finne fjerderøtter til identiteten ved hjelp av möbiustransformasjoner på matriseform, og har kommet fra til [tex]M=\left[\begin{matrix}0&b\\c&0\end{matrix}\right][/tex], hvor [tex]b=\pm 1[/tex] eller [tex]b=\pm i[/tex], og [tex]c=\pm b[/tex].
Jeg får det imidlertid ikke til å stemme for andre koeffisienter. Dette skurrer litt, siden [tex]f(x)=\frac{a}{ax}[/tex] også er en fjerderot av identiteten for [tex]a \neq 0[/tex].

Jeg har en mistanke om at dette har noe med ?homogene koordinater? å gjøre, men vet ikke helt hvordan man kan tolke det. Er det noen som har peiling på dette?

[mrcreosote]

Dette har med determinanten til matrisa å gjøre, den må være en fjerderot (n-te rot) av enheten for at matrisa skal komme til identiteten etter 4 anvendelser. Problemet kan omgås ved normalisering; for eksempel vil

10
01

og

20
02

begge representere identitetsavbildinga.

1-1
11

og

11
1-1

er andre fjerderøtter. (Som kanskje trenger ei runde i normaliseringsmaskina.)

[TrulsBR]

Ahh! Nå demrer det for meg hvor jeg tenkte feil - jeg hang meg opp i å skulle få identitetsmatrisa som resultat, men det holder jo at elementene på hoveddiagonalen er like, mens de to andre er 0. Takk for hjelpa!