Julenøttstafett

[daofeishi]

Neste stafettnøtt:

Vi har en kule som omskrever en kube med sidelengde s. Uttrykk volumet av kula ved s.

PS: Det er ikke lov å ikke følge opp med en nøtt når man har løst en!

Jeg leste feil. Jeg trodde det stod at kuben omskrev kula. Vel, i dette tilfellet er radien i kula lik avstanden fra senteret av kuben til et sidehjørne, som burde være [tex]\frac{\sqrt 3}{2}s[/tex][/tex]. Volumet blir da [tex]V = \frac{4\pi}{3}(\frac{\sqrt3}{2}s)^3 = \frac{\sqrt 3 \pi}{2} s^3[/tex]

Skyt meg hvis det har sneket seg inn en feil, dette er skrevet på rappen mellom to nyttårsbanketter - jeg har 1 minutt til å gjøre meg klar til neste. Ciao.

[Vektormannen]

Var ikke på riktig spor nei.

[JonasBA]

La [tex]x_1 = 103[/tex], og [tex]x_n = \frac{n}{x_{n-1}}[/tex] for [tex]2 \leq n[/tex]

Hva er produktet [tex]x_1x_2x_3...x_{16}[/tex]?

Muligens ikke en helt matematisk korrekt løsningsmetode, men jeg velger å poste allikevel.

[tex]x_1 = \frac{103}{1} \\ x_2 = \frac{1 \cdot 2}{103} \\ x_3 = \frac{3 \cdot 103}{2} \\ .. \\ x_{16} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 16}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 103}[/tex]

Ved å se på rekken av tall er det enkelt å se et system og man kan dermed utrykke produktet av [tex]x_1x_2x_3...x_{16}[/tex].

[tex]\frac{103^8 \cdot 3^7 \cdot 5^6 \cdot 7^5 \cdot 9^4 \cdot 11^3 \cdot 13^2 \cdot 15^1}{2^7 \cdot 4^6 \cdot 6^5 \cdot 8^4 \cdot 10^3 \cdot 12^2 \cdot 14^1} \ \cdot \ \frac{2^8 \cdot 4^7 \cdot 6^6 \cdot 8^5 \cdot 10^4 \cdot 12^3 \cdot 14^2 \cdot 16^1}{103^8 \cdot 3^7 \cdot 5^6 \cdot 7^5 \cdot 9^4 \cdot 11^3 \cdot 13^2 \cdot 15^1}[/tex]

.. her strykes mye oppe og nede og man sitter igjen med følgende.

[tex]2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 16 = 10321920[/tex]

Svaret kan også utrykkes ved [tex]n = 16[/tex]. (For alle partall av [tex]n[/tex])

[tex]F(n) = (\frac{n}{2})! \ \cdot \ 2^{\frac{n}{2}}[/tex]

[tex]F(16) = 10321920[/tex]

[Vektormannen]

Hehe, to ganske forskjellige løsninger her JonasBA

(Ser ikke vekk fra at du har rett)

[daofeishi]

Fint

Neste julenøtt:

La [tex]x_1 = 103[/tex], og [tex]x_n = \frac{n}{x_{n-1}}[/tex] for [tex]2 \leq n[/tex]

Hva er produktet [tex]x_1x_2x_3...x_{16}[/tex]?

Jeg sier meg enig Jonas sitt svar.
Vi skriver om rekursjonen slik: [tex]x_n x_{n-1} = n[/tex]

Da kan vi skrive:

[tex]\begin{align} x_1 x_2 ... x_{16} &= (x_1 x_2) (x_3 x_4) ... (x_{15} x_{16}) \\ &= (2)(4)(6)...(16) \\ &= 8! \cdot 2^8 \\ &= 10321920 \end{align}[/tex]

Det er nå opp til Jonas å komme med neste nøtt.

[JonasBA]

Jeg tror ikke jeg har så mye å stille opp med for dere universitets-gutter, har desverre ingen morsomme julenøtter.. Antar at førstemann kan poste en ny en.

[daofeishi]

Oki, jeg slenger inn en:

On the twelfth day of Christmas,
my true love sent to me
Twelve drummers drumming.... (Nøtt nr 12):

Vis at hvert tall i rekken 49, 4489, 444889, 44448889... er et kvadrattall.

[Charlatan]

Riktig svar JonasBA og daofeishi!

Vis at hvert tall i rekken 49, 4489, 444889, 44448889... er et kvadrattall.

Kall ledd n i rekken for [tex]a_n[/tex]. Vi observerer at ledd [tex]a_n[/tex] kan beskrives slik ved hjelp av formelen for repunits (norsk oversettelse?):

[tex]a_n=4\frac{10^{2n}-1}{9}+4\frac{10^{n}-1}{9}+1[/tex]

Vi omformer:

[tex]a_n=\frac{4}{9}((10^{2n}-1)+(10^n-1)+\frac{9}{4}) [/tex]

For enkelhetens skyld setter vi [tex]10^n=u[/tex]

Da er

[tex]a_n=\frac{4}{9}((u^{2}+u+\frac{1}{4}) \\ = (\frac{1}{3}(2u+1))^2 \\ = (\frac{1}{3}(2 \cdot 10^n+1))^2[/tex]

Nå må vi bevise at [tex]2\cdot 10^n+1[/tex] alltid er delelig på 3. Tar en kjapp induksjon..

for [tex]n=1[/tex], så er det [tex]2 \cdot 10^1+1=21=3\cdot 7[/tex] som er delelig på 3.

Hvis det er sant for alle k, så er [tex]2 \cdot 10^k+1=3A[/tex], for et heltall A.

Nå er
[tex]2 \cdot 10^{k+1}+1=2 \cdot 10^k \cdot 10 +1 \\ = 10(2\cdot 10^k+1)-9=10 \cdot 3A-9=3(A-3)[/tex]
som er delelig på 3. Da er [tex]2\cdot 10^n+1[/tex] delelig på 3 for alle n, og dermed er [tex](\frac{1}{3}(2 \cdot 10^n+1))[/tex] et heltall for alle n.

Da har vi bevist at alle ledd i [tex]a_n[/tex] er kvadrattall.

EDIT: Når jeg tenker meg om så trengtes ikke det induksjonsbeviset. For et heltall som kan skrives som kvadratet av et annet, er dette tallet enten irrasjonelt eller et heltall, og vi vet at det er rasjonalt, derfor er det et heltall..

Julenøtt nr. 13:

Vi har en funksjon [symbol:funksjon] slik at [tex]f(x)+xf(1-x)=120x[/tex] for alle reelle x. Finn [tex]f(2)[/tex].

[Charlatan]

Dobbelpost..

[Magnus]

[tex]f(x) + xf(1-x) = 120x[/tex]

[tex]f(1-x) + (1-x)f(x) = 120(1-x)[/tex]

Fra øverste

[tex]f(x) + x(120(1-x) - (1-x)f(x)) = f(x) + x(1-x)(120-f(x) = 120x[/tex]

[tex]f(x) + 120x - 120x^2 - xf(x) + x^2f(x) = 120x[/tex]

[tex]f(x) = \frac{120x^2}{x^2-x+1}[/tex]

Nummer 14

Bevis at for et hvert heltall [tex]n>5[/tex] kan et kvadrat deles i [tex]n[/tex] kvadrater.

[Charlatan]

Men, Magnus, du må jo finne [symbol:funksjon](2)

Bevis at for et hvert heltall [tex]n>5[/tex] kan et kvadrat deles i [tex]n[/tex] kvadrater.

Var det noe sånt du tenkte på?

[tex]n^2=(n-2)^2+\underbrace{2^2+2^2+...+2^2}_{n-1}[/tex]

[=)]

er [tex]1^2[/tex] et gyldig kvadrat?

[Magnus]

Dere tenker for algebraisk!

http://no.wikipedia.org/wiki/Kvadrat

[sEirik]

Nummer 14

Bevis at for et hvert heltall [tex]n>5[/tex] kan et kvadrat deles i [tex]n[/tex] kvadrater.

Hvis kvadratet kan deles inn i n kvadrater, kan vi dele det opp i n+3 kvadrater; vi deler ett av kvadratene inn i 4 kvadrater, og får da 3 kvadrater mer enn før.

Ved å vise at vi kan dele inn et kvadrat i 6, 7 og 8 deler er altså påstanden bevist. Dette skal være greit.



Tada!

Har dessverre ingen ny nøtt å komme med. Førstemann.

[NewDarkBlueZeroSugarZERO1]

[updown]haha[/updown] [symbol:tom]