Grenseverdisetningene

[beatnik]

Hei igjen. Lurte på om noen kunne forklare hvorfor svaret her blir [tex]e^2[/tex] ?? Er veldig dårlig forklart det eksempelet som er i boka.
Skjønner ikke fremgangsmåten


[tex]\lim_{h\rightarrow 0}(1+2h)^ {\frac{1}{h}[/tex]

[Magnus]

Vet du fra før at [tex]\lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e[/tex]? I så fall kan du bare sette 2h=u, og se hva som skjer.

evt:

[tex]L = \lim_{h\to 0} (1+2h)^{\frac{1}{h}}[/tex]

[tex]\ln L = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \cdot \ln (1+2h) = \lim_{h\to 0} \frac{\ln(1+2h)}{h} = 2[/tex]

Dermed er [tex]L = e^2[/tex]

Den ene grenseverdien der får det nesten bli opp til deg å vise.

[zell]

Når h->0 vil uttrykket gå mot 1^uendelig. Dette er noe som sier deg fint lite.

Du kan da ta den naturlige logaritmen til uttrykket, fordi du vet at: [tex]\ln{a^p} = p\ln{a}[/tex]

Du får:

[tex]\lim_{h\to 0} \ (1+2h)^{\frac{1}{h}} = \lim_{h\to 0} \frac{\ln{(1+2h)}}{h}[/tex]

Dette er et såkalt 0/0-uttrykk, og L'Hôpitals regel kan anvendes, deriverer da teller og nevner hver for seg.

[tex]\lim_{h\to 0} \ \frac{\frac{2}{1+2h}}{1} = 2[/tex]

Så, hva sier denne grenseverdien oss? Jo.

[tex]\lim_{h\to 0} f(h) = \lim_{h\to 0} e^{\ln{f(h)}}[/tex]

Vi fant [tex]\lim_{h\to 0} \ \ln{f(h)} = 2[/tex]

Og får dermed:

[tex]\lim_{h\to 0} f(h) = \lim_{h\to 0} e^{\ln{f(h)}} = e^2[/tex]

Ble du noe klokere?

[espen180]

Kan ikke denne utregningen like gjerne gjøres med briggske logaritmer? Blir svaret annerledes da?

[zell]

Nei, det kan man ikke.

Se på definisjonen av "e" http://en.wikipedia.org/wiki/E_%28mathe ... onstant%29

[tex]e = \lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n})^n[/tex]

[Magnus]

Kan ikke denne utregningen like gjerne gjøres med briggske logaritmer? Blir svaret annerledes da?

Vel, du kan jo prøve. Kommer i mål da også, men er ikke så meget poeng i å gjøre det mer komplisert.

[beatnik]

Er ikke helt sikker på om jeg skjønte poenget litt rusten på dette feltet. men skal prøve....

[beatnik]

kan noen forklare hva zell egentlig gjør når han bruker l'hopitals regel? datt litt av akkurat der

[groupie]

L'hopitals regel er nok ikke på pensum for deg, men det er en grei regel du godt kan lære deg.

I utgangspunktet gjelder den for grenseverdi-utrykk der du får et resultat som er [tex]\frac{0}{0}[/tex]. Hvis dette er tilfellet kan du derivere teller og nevner hver for seg, og det er nettopp det zell gjør:

[tex]\lim_{h\to 0} \ (1+2h)^{\frac{1}{h}} = \lim_{h\to 0} \frac{\ln{(1+2h)}}{h}[/tex]

Du ser her at når h går mot null blir utrykket 0/0 (ettersom nevner er h, og ln(1)=0), derfor kan du derivere teller og nevner hver for seg:

[tex]\lim_{h\to 0} \ \frac{\frac{2}{1+2h}}{1} = 2 [/tex]

Som da vist av zell!

[beatnik]

ok takk for det har ett spørsmål til. Sliter med en oppgave som jeg har sett her i forumet, men ikke helt har forstått hvordan jeg skal lørse. Vil helst gjøre det uten l'hopitals regel siden det ikke er pensum

link til oppgaven: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... r&start=15

Kan du hjelpe meg litt her tror du?

[Wentworth]

ok takk for det har ett spørsmål til. Sliter med en oppgave som jeg har sett her i forumet, men ikke helt har forstått hvordan jeg skal lørse. Vil helst gjøre det uten l'hopitals regel siden det ikke er pensum

link til oppgaven: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... r&start=15

Kan du hjelpe meg litt her tror du?

Se på innlegget igjen,det har blitt mer utdypet enn sist.

[groupie]

Den oppgaven har, ihvertfall her på forumet, blitt utelukkende blitt besvart med l'hospitals regel. Det er ingen ny informasjon som har blitt tillagt i forbindelse med hvordan man besvarer oppgaven uten bruk av regelen.

[Wentworth]

Den oppgaven har, ihvertfall her på forumet, blitt utelukkende blitt besvart med l'hospitals regel. Det er ingen ny informasjon som har blitt tillagt i forbindelse med hvordan man besvarer oppgaven uten bruk av regelen.

Om det er noen andre regler enn l`hospitals for å regne ut likningen eller den informasjonen du har fått hittil, blir vel til etterlysning.

Korrigert.

[Vektormannen]

Hvilken rasjonale ligning?

[Wentworth]

Hvilken rasjonale ligning?

Har rettet.Husk at en rasjonal likning er der den ukjente står under rottegnet.

Tema var dette her ;


[tex]\lim_{t\rightarrow0}(1+{\frac{t}{2}})=\lim_{t\rightarrow0}e^{ln(1+{\frac{t}{2}})}^{\frac{1}{t}}=\lim_{t\rightarrow0}e^{{\frac{1}{t}}ln(1+{\frac{t}{2}})}[/tex]

Bruker L`hospitals regel fordi det er et 0/0 uttrykk og deriverer teller og nevner for deretter faktoriserer uttrykket;

[tex]\lim_{t\rightarrow0}\frac{ln(1+{\frac{t}{2}})}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\ \frac{\frac{1}{1+\frac{t}{2}} \ \cdot \frac{1}{2}}{1}=\lim_{t\rightarrow0}{\frac{1}{2+t}}={\frac{1}{2}}[/tex]

Dermed [tex]e^{\frac{1}{2}}[/tex]