Logaritmer

[MatteNoob]

Kjære helgemattere, hihi
Jeg sitter her og koser meg litt med logaritmer, men har kommet til et punkt hvor jeg står fast. Oppgaven lyder som følger:

Bruk logaritmer, enten 10-er logaritme eller naturlig logaritme for å løse oppgavene (Jeg forstår at det ikke betyr noe hvilken av dem jeg bruker)

[tex](1+\frac{p}{100})^5 = 1,6[/tex]

Jeg prøver meg med de kunnskapene jeg allerede har, men vet ikke hvorvidt de er korrekte eller ei.

[tex]5lg(1) + 5lg(p) - 5lg(100) = lg(1,6)[/tex]

[tex]5lg(p) = 5lg(99) + lg(1,6)[/tex]

Så langt kom jeg, men da forsto jeg ikke så mye mer heller. Kan noen vise meg korrekt utregning? På forhånd takk, og god helg videre

[Emilga]

Her skal du ikke bruke logaritmer. Bruk logaritmer når eksponenten er ukjent.

[tex]\sqrt[5]{(1+\frac{p}{100})^5} = \sqrt[5]{1,6}[/tex]

[tex](1+ \frac p{100}) \approx 1,099[/tex]

[Vektormannen]

Emomilol, oppgaven sier jo at logaritmer skal brukes (men ellers er jeg enig med deg)

Men, MatteNoob, jeg skjønner ikke helt hva du har prøvd å gjøre her. Jeg ville begynt med å ta logaritmen av begge sidene.

[tex]\lg(1 + \frac{p}{100})^5 = \lg(1,6)[/tex]

[tex]5\lg(1 + \frac{p}{100}) = \lg(1.6)[/tex]

Det er ingen spesielle regler for logaritmen av en sum. Altså kan vi ikke gjøre noe mer her. Men vi kan dele på 5 på begge sider:

[tex]\lg(1 + \frac{p}{100}) = \frac{\lg(1.6)}{5}[/tex]

Ser du hva du kan gjøre nå?

[espen180]

Husk:

[tex]\lg (a+b) \neq \lg(a)+\lg(b)[/tex]
[tex]\lg (\frac{a}{b})=\lg(a)-\lg(b)[/tex]
[tex]\lg (a^b)=b \cdot \lg(a)[/tex]

Dessuten må ut ta logaritmen av hele siden, ikke hvert enkelt ledd:

[tex]\lg(1+\frac{p}{100})^5=\lg(1.6)[/tex]

[MatteNoob]

@ Vektormannen
Ja, som du sier, man må nytte logaritmer, ellers hadde jeg gjort som emomilol sier.

Jeg ser at du i likhet med det espen180 sier, tar ut logaritmen av hele siden og ikke hvert enkelt ledd. Det som fikk meg til å gjøre dette, var tvil om regelen espen180 viser til.

[tex]lg(\frac{a}{b}) = lg(a) - lg(b)[/tex]

for denne må da komme til anvendelse i:

[tex]\frac{p}{100}[/tex], eller er jeg helt på bærtur?

Ser videre at du setter opp:

[tex]lg(1+\frac{p}{100}) = \frac{lg(1,6)}{5}[/tex]

Men her må jeg ærlig talt innrømme at jeg står fast. Jeg skal likevel forsøke meg på å gjøre et tappert forsøk.

[tex]lg(1+\frac{p}{100}) = \frac{0,204}{5}[/tex]

[tex]lg(1+\frac{p}{100}) = 0,0408[/tex]

Jeg tenker så det braker her, men kan ikke se hva jeg kan gjøre med logaritmen på venstresiden nå

[espen180]

Du kan jo la hver side være en potens til 10?

[Vektormannen]

Husk på selve definisjonen av en logaritme. 10-logaritmen til det positive tallet k, er det tallet du må opphøye 10 i for å få k. [tex]\lg(1 + \frac{p}{100})[/tex] er altså det tallet du må opphøye 10 i for å få [tex]1 + \frac{p}{100}[/tex]. Så hva tror du du må gjøre nå?

Edit: espen180 kom meg i forkjøpet ja : (

[Gommle]

[tex]lga = b \\ 10^{lga} = 10^b \\ a = 10^b[/tex]

[espen180]

Men du ga i det minste en bedre forklaring.

[Vektormannen]

Hihi, og der kom forklaringen i algebraisk form. For en matematisk iver midt på en lørdagsnatt

[groupie]

Jeg ser at du i likhet med det espen180 sier, tar ut logaritmen av hele siden og ikke hvert enkelt ledd. Det som fikk meg til å gjøre dette, var tvil om regelen espen180 viser til.

[tex]lg(\frac{a}{b}) = lg(a) - lg(b)[/tex]

for denne må da komme til anvendelse i:

[tex]\frac{p}{100}[/tex], eller er jeg helt på bærtur?

Du er ikke helt på bærtur, men se allikevel på det Vektormannen skriver om logaritmeregeler rundt én sum! Slikt fins ikke!

Det må også påpekes at i dette uttrykket: [tex](1+\frac{p}{100})^5 = 1,6 [/tex] er du initialt interessert i å bli kvitt potensen som er her '5'. Derfor tar du først log av begge sider og husk log av begge hele uttrykk.

[Emilga]

[tex](1+\frac{p}{100})^5 = 1,6[/tex]

Vi bruker at [tex]\lg (a^x) = x \cdot \lg a[/tex]

[tex]5 \cdot \lg(1+\frac{p}{100}) = \lg(1,6)[/tex]

[tex]\lg(1+\frac{p}{100}) = \frac{\lg(1,6)}{5}[/tex]

Vi opphøyer med 10 som grunntall:

[tex]1+\frac{p}{100} = 10^{\frac{\lg(1,6)}{5}}[/tex]

[tex]\frac{p}{100} = 10^{\frac{\lg(1,6)}{5}} - 1[/tex]

[tex]p = 100 \cdot (10^{\frac{\lg(1,6)}{5}} - 1 )[/tex]

[tex]p \approx 9,856[/tex]

[MatteNoob]

@ Alle sammen

Hahaha, ja for en iver på en lørdagskveld. Fantastisk at det finnes flere som meg! Og attpåtil i lille Norge!!

Takk for forklaringer i ord såvel på algebratisk form, det hjalp meg i allefall litt videre, om ikke med selve stykket, så i allefall med forståelsen av logaritmer. Hadde jeg brukt naturlig logaritme her, så ville jeg vel nyttet e i stedenfor 10 her?

[tex]10^{(1+\frac{p}{100})} = 10^{0,0408}[/tex]

Kan jeg nå begynne å "leke med potensene" på hver side, f.eks ved å:

[tex]10^p = 10^{(0,0408 + 1) \cdot 100}[/tex]

[tex]10^p = 10^{104,08}[/tex]

[tex]p lg(10) = 104,08 lg(10)[/tex]

[tex]p = \frac{104,08 lg(10)} {lg(10)}[/tex]

[tex]p = 104,08[/tex]

Edit:
Ser ut til at jeg fikk sterkt etterlengtet utregningshjelp her allerede. Glem alt som står over, det er jo helt feil, hehe.

Tusen takk for hjelpen

[groupie]

Lek er vel og bra , men husk at du alltids kan sjekke svaret! Prøv f.eks. med ditt siste svar, redd for at du blir noe skuffet..

[Emilga]

Hvis det er til hjelp:

Husk at [tex]\lg(1 + \frac p{100})[/tex] er det tallet, som opphøyd i 10 gir [tex](1+ \frac p{100})[/tex].
Dette kan vi skrive som [tex]10^{\lg(1+ \frac p{100})} = (1+ \frac p{100})[/tex]

Det betyr at hvis vi opphøyer likningen [tex]\lg(1+\frac{p}{100}) = \frac{\lg(1,6)}{5}[/tex] med 10 som grunntall, får vi:
[tex]10^{\lg(1+\frac{p}{100})} = 10^{\frac{\lg(1,6)}{5}}[/tex]

Vi husker fra tidligere at [tex]10^{\lg(1+ \frac p{100})} = (1+ \frac p{100})[/tex], og vi setter det inn i likningen vår:
[tex](1+\frac{p}{100}) = 10^{\frac{\lg(1,6)}{5}}[/tex]