Nye integrasjonsgrenser ved bruk av substitusjon

[Bryson]

Hei. Kan noen utdype forskjellen ved å integrere bestemte integraler ved hjelp av substitusjon med og uten skifte av integrasjonsgrenser?

[ettam]

Dette står nok greit forklart i læreboka di.

[Bryson]

Dette står nok greit forklart i læreboka di.

Hvis dette hadde stått forklart i læreboka mi, så hadde jeg ikke tatt på meg bryet med å melde meg inn på matematikk.net og skrevet i forumet.

Everything happens for a reason...

[zell]

La oss ta:

[tex]\int_{x_1}^{x_2} \cos{x}\sin{x}\rm{d}x[/tex]

[tex]u = \sin{x} \ , \ \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x} = \cos{x} \ \Rightarrow \ \rm{d}u = \cos{x}\rm{d}x[/tex]

Følgelig vil de nye integrasjonsgrensene være: [tex]u_1 = \sin{x_1} \ , \ u_2 = \sin{x_2}[/tex]

Vi får: [tex]\int_{u_1}^{u_2}u\rm{d}u[/tex]

[Bryson]

Takk for konstruktivt svar!

Men spørsmålet mitt, som muligens var litt dårlig formulert, var hvilke forskjeller det er mellom å substituere med og uten bytte av integrasjonsgrenser?

I boka står det nemlig to ulike metoder for substitusjon: én metode med bytte av integrasjonsgrenser, og én uten. Men jeg ser ikke den prinsippielle forskjellen mellom de to ulike metodene, og når lønner det seg eventuelt å ta de forskjellige metodene i bruk?

[zell]

Hvis du ikke skal bytte grensene: integrer først ubestemt. Løs integralet, deretter sett inn grensene og fjern C.

F.eks.

[tex]\int_{x_1}^{x_2} \cos{x}\sin{x}\rm{d}x[/tex]

[tex]u = \sin{x}[/tex]

[tex]\int u\rm{d}u = \frac{1}{2}u^2 + C = \frac{1}{2}\sin^2{x}+C[/tex]

[tex]\int_{x_1}^{x_2}\cos{x}\sin{x}\rm{d}x = \frac{1}{2}\large\left[\sin^2{x}\large\right]_{x_1}^{x_2}[/tex]

[Bryson]

Takk. Så det finnes ingen tilfeller hvor den litt mer sofistikerte metoden med skifte av integrasjonsgrenser er nødvendig?

[zell]

Nei.

[Olorin]

Det er sjelden nødvendig, men gjør ofte utregningen lettere