Slik har jeg forsøkt å løse den:
[tex]e^x - 2e^{-x} = 1[/tex]
[tex]e^x - 2 \cdot \frac{1}{e^x} = 1[/tex]
[tex]e^x(e^x - 2 \cdot \frac{1}{e^x}) = 1 \cdot e^x[/tex]
[tex]e^{2x} - 2e^x = e^x[/tex]
[tex]e^{2x} - 3e^x = 0[/tex] jeg setter [tex]u = e^x[/tex]
[tex]u^2 - 3u = 0[/tex]
[tex]u(u - 3) = 0[/tex]
[tex]u = 0[/tex] v [tex]u = 3[/tex] Jeg setter [tex]e^x = u[/tex]
[tex]e^x = 0[/tex] v [tex]e^x = 3[/tex]
[tex]x = ln3[/tex]
[tex]x = 1,0986[/tex]
Er dette galt? Fasiten sier at svaret er [tex]ln 2[/tex], men jeg forstår ikke hvordan den kommer frem til det.
Logaritmisk likning. [løst]
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Har tenkt litt igjen, etter å ha lest litt om liknende problemstillinger her.
[tex]e^x - 2e^{-x} = 1[/tex]
[tex]e^x - \frac{2}{e^x} = 1[/tex]
[tex]e^x(e^x - \frac{2}{e^x}) = 1 \cdot e^x[/tex]
[tex]e^{2x} - 2 = e^x[/tex]
[tex]e^{2x} - e^x = 2[/tex]
[tex]e^x = 2[/tex]
[tex]x = ln2[/tex]
Ordner seg for den som søker ser det ut til
*stolt*
[tex]e^x - 2e^{-x} = 1[/tex]
[tex]e^x - \frac{2}{e^x} = 1[/tex]
[tex]e^x(e^x - \frac{2}{e^x}) = 1 \cdot e^x[/tex]
[tex]e^{2x} - 2 = e^x[/tex]
[tex]e^{2x} - e^x = 2[/tex]
[tex]e^x = 2[/tex]
[tex]x = ln2[/tex]
Ordner seg for den som søker ser det ut til
*stolt*
hmm vel, du må huske at du får potensiellt to løsninger, siden dette er en andregradsligning med hensyn på e^x, selv om den ene løsningen her faller vekk fordi vi får e^x = "noe negativt".
husk at;
[tex]e^{2x}-e^x \not = e^x[/tex]
slik jeg ville løst den var;
[tex]e^x - 2e^{-x} = 1 \\ e^x - 2e^{-x} - 1 = 0 \\ e^x - 2e^{-x} - 1 = 0 |\cdot e^x \\ e^{2x}-e^x-2 = 0 \\ (e^x)^2 - (e^x) - 2 = 0 \\ u=e^x \\ u^2-u-2=0 \\ u=-1 \text{ eller } u=2 \\ e^x=-1 \text{ eller }e^x=2[/tex]
siden -1 er negativt så faller den løsningen vekk, og vi ender opp med å løse
[tex]e^x=2[/tex]
nå kan det være du bare kjørte rett gjennom en andregradsligning uten å skrive det, men det er [tex]2e^x-e^x=e^x \text{ og ikke } e^{2x}-e^{x}=e^x[/tex], i tilfellet du rotet litt der.
husk at;
[tex]e^{2x}-e^x \not = e^x[/tex]
slik jeg ville løst den var;
[tex]e^x - 2e^{-x} = 1 \\ e^x - 2e^{-x} - 1 = 0 \\ e^x - 2e^{-x} - 1 = 0 |\cdot e^x \\ e^{2x}-e^x-2 = 0 \\ (e^x)^2 - (e^x) - 2 = 0 \\ u=e^x \\ u^2-u-2=0 \\ u=-1 \text{ eller } u=2 \\ e^x=-1 \text{ eller }e^x=2[/tex]
siden -1 er negativt så faller den løsningen vekk, og vi ender opp med å løse
[tex]e^x=2[/tex]
nå kan det være du bare kjørte rett gjennom en andregradsligning uten å skrive det, men det er [tex]2e^x-e^x=e^x \text{ og ikke } e^{2x}-e^{x}=e^x[/tex], i tilfellet du rotet litt der.