Vekstfart, derivasjon.

[Grønnsaker]

Hei.
Sliter litt med en liten oppgave her om en bakteriekultur. Blir glad for en liten og grei fremgangsmåte slik at jeg kan forstå oppgaven.

I et forsøk blir en bakteriekultur på 13,5 millioner bakterier tilført giftstoff! Etter t timer er tallet på baktereier B(t) i millioner gitt ved

B(t) = -0,04 t^3 + 0,54 t^2 + 13,5 t *den E-bokstaven som kanskje står for definisjonsmengde* [0,15]

a) finn gjennomsnittlig vekstfart til bakteriekulturen i perioden [0,4].

b) finne B'(t)

c) Regn ut B'(4) og B'(10). Hva viser svarene her egentlig?

d) Finn regning når kulturen har flest bakterier. Hvor mange bakterier er det i kulturen da?

Takker mye på forhånd.

[MatteNoob]

Jeg gjorde noen småfeil, pga jeg leste dette feil:

B(t) = -0,04 t^3 + 0,54 t^2 + 13,5 t *den E-bokstaven som kanskje står for definisjonsmengde* [0,15]

Ser du at det ser ut som det siste funksjonsuttrykket er 13.5 t?

Alt er rettet opp nedenfor nå:

Hei.
Sliter litt med en liten oppgave her om en bakteriekultur. Blir glad for en liten og grei fremgangsmåte slik at jeg kan forstå oppgaven.

I et forsøk blir en bakteriekultur på 13,5 millioner bakterier tilført giftstoff! Etter t timer er tallet på baktereier B(t) i millioner gitt ved

B(t) = -0,04 t^3 + 0,54 t^2 + 13,5 t *den E-bokstaven som kanskje står for definisjonsmengde* [0,15]

a) finn gjennomsnittlig vekstfart til bakteriekulturen i perioden [0,4].

b) finne B'(t)

c) Regn ut B'(4) og B'(10). Hva viser svarene her egentlig?

d) Finn regning når kulturen har flest bakterier. Hvor mange bakterier er det i kulturen da?

Takker mye på forhånd.

a) [tex]\frac {y_2-y_1}{x_2-x_1} \Rightarrow \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0} \Rightarrow \frac{60.08 - 13.5}{4 - 0} \Rightarrow \frac{46.58}{4} = \underline{\underline{11.645}}\\ [/tex]

b) [tex]B\prime(t) = -0.04 \cdot 3 t^2 + 0.54 \cdot 2 t + 13.5 \Rightarrow \\ \underline{\underline{B\prime(t) = -0.12t^2 + 1.08t}}[/tex]

c) [tex]B\prime(4) = \underline{2.4} \\ B\prime(10) = \underline{-1.2}[/tex]

At tilveksten av bakterier minker time for time - giften fungerer.

d) [tex]B\prime(t) = 0 \\ \underline{t_1 = 0} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{\underline{t_2 = 9}}[/tex]

Vi forkaster [tex]t_1[/tex], fordi [tex]B(t) [/tex]er større ved [tex]t_2[/tex]

[tex]B(9) = \underline{\underline{28.08\, mill}}[/tex]

[Sosso]

OMG, MatteNoob tusen hjertelig takk for hjelpen. Den ble jeg glad for altså.

[Sosso]

Men vent nå litt.. hvorfor skrev du *4-0* i oppgave a ?!
Og du har gjort feil i oppgave b. Du tok med 13,5 i derivasjonen, der skal det bare være 0 istedet .

[MatteNoob]

Se på svaret mitt om igjen, jeg leste feil, fordi det så ut som om 13.5 var 13.5t i det første innlegget deres.

I oppgave a) har jeg inkludert 4-0, fordi:

[tex]t_1 = 0 \\ t_2 = 4 \\ \, \\ y_1 = f(0) \\ y_2 = f(4)[/tex]

Den gjennomsnittlige vekstfaktoren finner vi ved:

[tex]\frac{y_2 - y_1}{t_2 - t_1} \Rightarrow \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}[/tex]

[Sosso]

Ok, det var det jeg ville rette på, men du gjorde visst det før meg. (Det gjelder det siste innlegget ditt. ) Takk for det Forresten, oppgave A) blir svaret 1 ,- ikke 15,2 ikke sant?
Men til slutt lurer jeg på den siste oppgaven D. Hvordan tenkte du her?

[MatteNoob]

[tex]f(4) \not = 4[/tex]

[tex]f(4) = -0.04 \cdot (4)^3 + 0.54 \cdot (4)^2 + 13.5[/tex]

Se forøvrig på oppgaven en gang til, jeg har redigert den fordi svaret ble feil da jeg trodde konstanten på slutten var en koeffesient til t.

[MatteNoob]

Men til slutt lurer jeg på den siste oppgaven D. Hvordan tenkte du her?

Vel, den opprinnelige funksjonen er:

[tex]B(t) = -0.04t^3 + 0.54t^2 + 13.5 \,\,\, t \in \left[0,15\right][/tex]

t er timer etter at de sprøytet inn giften.
B(t) gir antall bakterier etter at de sprøytet inn giften.

Når vi deriverer en funksjon, har vi en funksjon som beskriver den momentane vekstfarten i etthvert punkt. Når den deriverte er 0, er altså tilveksten, eller forandringen i B(t) 0.

Hvis vi f.eks lager en funksjon for hvordan en bil kjører, så vil den deriverte av funksjonen være 0 når bilen står stille, kjører i en konstant fart eller når den har nådd toppfart. - Da forandrer ikke funksjonen seg lenger.

I d) spør de som følger:

d) Finn regning når kulturen har flest bakterier. Hvor mange bakterier er det i kulturen da?

Når har bakteriekulturen flest bakterier? - Svar: i topp-punktet.
Når har B(t) nådd topp-punktet? - Svar: Når den deriverte er 0.

Hvis grafen til B(t) har både topp- og bunnpunkt, finner vi ekstremalpunktene for B'(t) = 0. Vi må derfor sjekke om det er ett topp- eller bunnpunkt etter vi har funnet x-verdiene som angir funksjonens ekstremalpunkter.

[tex]B\prime(t) = 0 \\ \Downarrow \\ \frac{-0.12t^2 + 1.08t}{0.12} \Rightarrow -t^2 + 9t = 0 \Rightarrow t(9 - t) = 0 \\[/tex]

Når er dette uttrykket 0? Vel:

[tex]t(9-t) = 0 \\ \, \\ \underline{t = 0} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{t=9}[/tex]

Den deriverte er altså 0 for t=0 og t=9

Dette indikerer at vi har funnet to ekstremalpunkter. Ett topp-punkt og ett bunnpunkt. Vi kan nå sette disse t-verdiene inn i B(t), for å se når bakteriemengden er størst.

[tex]B(0) = -0.04\cdot (0)^3 + 0.54 \cdot (0)^2 + 13.5 \\ B(0) = 0 + 0 + 13.5 \\ B(0) = \underline{13.5\, mill}[/tex]

[tex]B(9) = -0.04 \cdot (9)^3 + 0.54 \cdot (9)^2 + 13.5 \\ B(9) = -29.16 + 43.74 + 13.5 \\ B(9) = \underline{28.08\, mill}[/tex]

[tex]B(0)\, < \, B(9)[/tex] Altså angir B(9) topp-punktet.

Antall bakterier er 28.08 millioner på det meste.

Oppgave a
Svaret blir IKKE 1, men 11.645

[MatteNoob]

Jeg forenklet uttrykket ved å dele det på koeffesienten til t. Det gjorde jeg kun for å forenkle uttrykket. Svaret hadde blitt det samme uansett, se her:

[tex]-0.12t^2 + 1.08t = 0[/tex]

[tex]t = \frac{-b \pm \sqrt{(b)^2 - 4ac}}{2a}[/tex]

[tex]t = \frac{-(1.08) \pm \sqrt{(1.08)^2 - 4 \cdot (-0.12) \cdot 0}}{2 \cdot (-0.12)}[/tex]

[tex]t = \frac{-1.08 \pm \sqrt{(1.08)^2 - 0}}{-0.24}[/tex]

[tex]t = \frac{-1.08 \pm 1.08}{-0.24}[/tex]

[tex]t_1 = \frac{-2.16}{-0.24} \,\,\, \vee \,\,\, t_2 = \frac{0}{-0.24}[/tex]

[tex]\underline{t_1 = 9} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{t_2 = 0}[/tex]

Altså er den første metoden jeg nyttet mye bedre.


Edit:

Slettet du innlegget ditt, din snøsokk! haha

[Sosso]

WOOOW.. Går du i tredje klasse el no sånt? Ser ut som om du er en ekte mattenoob Du aner ikke hvor glad jeg har blitt for den fantastiske hjelpen din!! Tusen Tuuusen takk Mattenoob.

Hvis du har lyst ,- og tid ,- og ikke andre lekser, så har jeg tenkt å spørre deg om du vil hjelpe meg litt med én oppgave til om én graf?
(Eller andre personer som leser dette innlegget)
Det dreier seg om å lese av grafen og regne kun én av oppgavene. Har prøvd tallvis av ganger før men har aldri fått riktig.

Takker Takker og Takker.

Her er den::
<a href='http://bildr.no/view/201216'><img src='http://bildr.no/thumb/201216.jpeg' alt='201216' /></a>

[Sosso]

PS, den linken jeg ga nå, hører til emnet ''Diverse Oppgaver''


Åhh forresten, MatteNoob!! Du har skifta sitat! hhahaha. Den der sa mattelæreren til oss. Han ba oss om å si det til småsøskene våres, og jeg gjorde det dagen etter mens jeg pusset tennene til lillesøster. du skulle ha sett henne.. hun stod med munnen åpen full av tannkrem og tårene bare kom stille ut!! herregud jeg lo meg i hjel samtidig som jeg smeltet...
men til slutt lo hun da hun fikk vite hva det betydde.. dakar førsteklassing

[MatteNoob]

Det var da skammelig til skryt man skulle få!

Jeg er ikke 3-klassing, nei. Jeg er nok privatist og skal ta matematikk 2MX den 28 Mai, hehehe. Er en eldre fis på 25 år, jeg :] Du aner ikke hvor mye hjelp jeg har fått på forumet her. Det er somregel meg som spør, og andre som svarer, så det er hyggelig å kunne hjelpe andre for en gangs skyld også, hehehe.

Jeg ser på oppgaven nå, men du skrev ikke hvilke alternativer du ville jeg skulle prøve.

d) Kontroller svaret i oppgave c ved å regne ut f'(2)

[tex]f(x) = x^2 - x -6 \\ \, \\ f\prime(x) = 2x - 1 \\ \, \\ f\prime(2) = 2\cdot 2 - 1 = \underline{\underline{3}}[/tex]

Virker som om du har fått til det, så da er det jo ikke noe problem

e) Finn ved regning koordinatene til bunnpunktet til f.

Okey, liten oppdatering. Husk at f(x) gir ut Y-koordinater. Koordinater skriver vi på denne formen: [tex](x,y)[/tex]

Det er derfor de kaller x for førstekoordinaten, og y for andrekoordinaten.

Klar for å løse oppgaven. Når vi har en andregradsfunksjon slik som dette, er det kun ett topp-punkt eller bunnpunkt. Hvorvidt det er topp-punkt eller bunnpunkt avgjøres av funksjonen.

Se her er et bilde av funksjonen: [tex]f(x) = x^2[/tex]
Dette er ett bunnpunkt



Her er et bilde av [tex]f(x) = -x^2[/tex]
Dette er ett topp-punkt




Dette gjelder for alle andregradsfunksjoner. Hvis [tex]x^2[/tex] er positiv, har vi ett bunnpunkt. Hvis den er negativ, har vi ett topp-punkt. Værre er det ikke.

For å finne topp-/bunnpunkt ved regning, kan vi bruke denne formelen:

[tex]x = \frac{-b}{2a}[/tex]

I alle andregradsfunksjoner, har vi 2 eller 3 ledd, der det 3 leddet er en konstant. Definisjonen på en andregradsfunksjon er slik:

[tex]f(x) = ax^2 + bx + c[/tex]

I dette tilfellet er funksjonen gitt ved:

[tex]f(x) = x^2 - x - 6[/tex]

Altså er:
[tex]a=1\\b=-1\\c = -6[/tex]

Deretter setter vi dette inn i:

[tex]x = \frac{-b}{2a} \Rightarrow \frac{-(-1)}{2\cdot 1} \Rightarrow \frac{1}{2} = \underline{\underline{0.5}}[/tex]

Okey, så nå vet vi at x-koordinaten er 0.5. Vi har [tex](0.5, y)[/tex]

Hvordan finner vi Y-koordinaten når vi vet x? - Jo, ved å stappe den inn i funksjonen.

[tex]f(0.5) = (0.5)^2 - 0.5 - 6 \\ \, \\ f(0.5) = 0.25 - 0.5 - 6 \\ \, \\ f(0.5) = \underline{\underline{-6.25}}[/tex]

Av funksjonsuttrykket, ser vi at x^2 er positiv, vi har derfor et bunnpunkt. Dette bunnpunktet finner vi ved koordinatene [tex](0.5,\, -6.25)[/tex]

[Sosso]

Du er rett og slett helt utrolig..

Men jeg forstod ikke heelt oppgave B og C , siden du ikke svarte meg.

[MatteNoob]

Hallo igjen

Jeg har gjort et par av oppgavene i tråden din her også: Treningsoppgaver

Ser ut til at alt skrytet ditt fungerer. Det er like før jeg vokser ut av hustaket her, hehehe.

Var det b og c på denne oppgaven du mente:



Eller i den oppgaven du tok opp i denne tråden?

[Sosso]

Håper du tok deg en liten tjueminutters pause.

*hehehehe*

Ja, Det er akkurat det bildet du har limt inn der.