Jeg har skannet og lagt hele oppgaven til dem som vil ha den i pdf format. Eksamensoppgave matematikk 2MX, Mai 2005 Alle tekstoppgaver er avbildet i tråden, så du trenger egentlig ikke oppgavesettet.
Dette er øvelse til den kommende eksamenen jeg skal ta i 2mx, så jeg kan ikke garantere at alle svar er riktige. Videre hadde det vært fantastisk om gjengangerne her (ikke Ibsens gjengangere), kunne titte over, og komme med positive og konstruktive tilbakemeldinger. Gjør jeg ting knotete? Tenker jeg tungvindt? Alle tilbakemeldinger er hjertlig velkommen! Jeg har ikke noe løsningsforslag på dette settet, så jeg har ikke fått kontrollert selv, ser du noe feil, så skrik ut, men ikke bli hes, for det kan fort være mange av dem, hehe.
Helsningar från MatteNoobet
Oppgave 1
a.I)
[tex]3 sin x = 2 \\ sin x = \frac 23 \\ x = sin^{-1}(- \frac 23) \\ x = 41.8\textdegree \,\,\, \vee \,\,\, x = 180\textdegree - 41.8\textdegree \\ \underline{\underline{x = 41.8\textdegree}} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{\underline{x = 138.2\textdegree}}[/tex]
a.II)
[tex]3sin x + 2 cos x = 0 \\ \frac{3sin x + 2 cos x}{cos x} = 0 \\ 3 tan x + 2 = 0 \\ tan x = -\frac 23 \\ x = tan^{-1}(-\frac 23) \\ x = -33.7\textdegree \\ \underline{\underline{|x| = 33.7}} \,\,\, \vee \,\,\, x = 180 \textdegree + |x| = \underline{\underline{213.7\textdegree}}[/tex]
b.I)
[tex]1.05^x = 2 \\ x log 1.05 = log 2 \\ x = \frac{log 2}{log 1.05} \\ \underline{\underline{x \approx 14.2}}[/tex]
b.II)
[tex](ln x)^2 - lnx - 6 = 0 \\ u^2 - u - 6 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\, der\, u = lnx \\ \, \\ u_1 = 3 \,\,\, \vee \,\,\, u_2 = -2 \\ \, \\ ln x = 3 \,\,\, \vee \,\,\, ln x = -2 \\ \, \\ \underline{\underline{x = e^3}} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{\underline{e^{-2}}}[/tex]
c.I)
[tex]f(x) 3e^x + 2 lnx \\ \, \\ f\prime(x) = 3(e^x)\prime + 2 (lnx)\prime \\ \, \\ f\prime(x) = 3e^x + 2 \cdot \frac 1x \\ \, \\ f\prime(x) = 3e^x + \frac 2x \\ \, \\ \underline{\underline{f\prime(x) = \frac {3x \cdot e^x + 2}{x}}}[/tex]
c.II)
[tex]g(x) = 5x^2 \cdot lnx \\ \, \\ g\prime(x) = 5(x^2)\prime \cdot lnx + 5x^2 \cdot (lnx)\prime \\ \, \\ g\prime(x) = 10x \cdot lnx + 5x^2 \cdot \frac 1x \\ \, \\ g\prime(x) = 10x \cdot lnx + \frac{5x^{\cancel 2}}{\cancel x} \\ \, \\ \underline{\underline{g\prime(x) = 10x \cdot lnx + 5x}}[/tex]
d.I)
[tex]\int(x^3 - x - 2) dx = \\ \, \\ \underline{\underline{\frac {x^4}{4} - \frac {x^2}{2} - 2x + C \Rightarrow \frac 14 x^4 - \frac 12 x^2 - 2x + C}}[/tex]
d.II)
[tex]\int\left(2^x - \frac 1x\right) dx = \\ \, \\ \underline{\underline{\frac {2^x}{ln 2} - ln x + C}}[/tex]
e.I.1)
[tex]AD = 3.5m \\ tan(\angle A) = \frac{DC}{AD} \Rightarrow DC = tan(\angle A) \cdot AD \\ \, \\ \left(tan(50\textdegree) \cdot 3.5\right) - \left(tan(41\textdegree) \cdot 3.5\right) \approx \underline{\underline{1.13\, m}}[/tex]
e.I.2)
Fra e.I.1, vet vi at [tex]DC \approx 3.04m \,\,\,\,\,\, \angle A = 41\textdegree[/tex]
Maks høyde blir [tex]DC \approx 3.54m[/tex]
[tex]tan(\angle A) = \frac{DC}{AD} \\ \, \\ \angle A = tan^{-1}(\frac{3.54}{3.5}) \\ \, \\ \underline{\underline{\angle A \approx 45.3\textdegree}}[/tex]
e.II.1)
[tex]tan(41\textdegree) \cdot x = 1.4 \\ \, \\ 0.86928x = 1.4 \\ \, \\ x = \frac{1.4}{0.86928} \\ \, \\ \underline{x = 1.61}[/tex]
Over 1.4 meter:
[tex]AB - 2 \cdot 1.61 = 3.78m[/tex]
[tex]\frac{x}{3.78} = \frac{1}{7} \\ \, \\ x = \frac{3.78 \cdot 1}{7} = \underline{\underline{0.54 \Rightarrow\, 54 \percent}}[/tex]
e.II.2)
Fra e.I.2, vet vi at [tex]\angle A = 45.3\textdegree \,\, [/tex]dersom vi øker taket med 0.5 meter.
[tex]tan(45.3\textdegree) \cdot x = 1.4 \\ \, \\ 1.0105x = 1.4 \\ \, \\ x = \frac{1.4}{1.0105} \\ \, \\ \underline{x = 1.3854}[/tex]
Over 1.4 meter:
[tex]AB - 2 \cdot 1.3854 = \underline{4.2292}[/tex]
[tex]x= \frac{4.2292}{7} = {\underline{0.6041 \Rightarrow 60.41\percent}[/tex]
Den øker med ca [tex] 60.41\percent - 54 \percent = \underline{\underline{ 6.41\percent}}[/tex]
a)
[tex]y = 0 \\ \, \\ - 0.09x^2 + 9 = 0 \\ \, \\ x^2 = \frac{-9}{-0.09} \\ \, x^2 = 100 \\ \, \\ x = \pm \sqrt{100} \\ \, \\ x = \pm 10[/tex]
[tex]2\cdot |x| = \underline{\underline{20m}}[/tex]
b)
[tex]f = 11[/tex] Denne funksjonen beskriver veibanen over brua.
[tex]\int_{-10}^{10} \left(f(x) - y(x)\right) dx = \left[(11x) - (- \frac{9}{100} \cdot \frac{x^3}{3} + 9x)\right]_{-10}^{10} = \left[2x + \frac{3x^3}{100}\right]_{-10}^{10} \, = \\ \, \\ \, \\ \left(2\cdot 10 + \frac{3 \cdot (10)^3}{100}\right) - \left(2\cdot (-10) + \frac{3\cdot (-10)^3}{100}\right) = \left(20 + 30) - (-20 + (-30)\right) =\\ \, \\ 50 + 20 + 30 = \underline{\underline{100\, m^2}}[/tex]
c)
Lekteren er 6 meter lang på hver side av tverrsnittet.
[tex]y(x) = -0.09x^2 + 9 \\ \, \\ y(6) = -0.09\cdot (6)^2 + 9 = \underline{5.76 m}[/tex]
Ja, den passer inn under brua, men jeg ville nok ikke anbefalt å bruke denne elven som transportvei. Klaringen er meget liten da lekteren er 5.5 meter over vannflaten, og brua bare er 5.76 meter over vannflaten ytterst ved lekteren dersom den kjører under i senter av tverrsnittet på brua.
d)
Jeg antar at den nye lekteren også vil ligge 5.5 meter over vannflaten. Jeg antar også at klaringen må være minimum 0.5 meter sammenlagt. (Selv om det kanskje er litt motsigende til svaret mitt i c.
Vi kan derfor sette:
[tex]y(x) = 5.5 \\ \, \\ -0.09x^2 + 9 = 5.5 \\ \, \\ x^2 = 38.8889 \\ \, \\ x = \pm 6.236 m[/tex]
[tex]2\cdot |x| - 0.5 \approx 12 m[/tex]
Det ser ut til at maksimal lengde fortsatt blir 12 meter grunnet sikkerhetsmarginen jeg har lagt inn. Arealet av lekteren blir:
[tex]A_{lekter} = 12 \cdot 5.5 = \underline{\underline{66\, m^2}}[/tex]
a)
[tex]\vec {AB} = [6-2, 3-1] = [4, 2] = [1, \frac 24] = [1, \frac 12] \\ \, \\ \, \\ \, \\ [/tex]
Vi setter P(x,y) som er et vilkårlig punkt på linjen.
[tex][x-2, y-1] = [1, \frac 12]t[/tex]
[tex]l: \left\{ \text{x = 2 + t \\y = 1 + \frac 12t} \right[/tex]
b)
[tex]\vec m = [-1, 1] \\ \, \\ \vec l = [1, \frac 12] \\ \, \\ \vec m \cdot \vec l = [-1, 1] \cdot [1, \frac 12] = (-1) \cdot 1 + 1 \cdot \frac 12 = - \frac 12[/tex]
Nei, de står ikke vinkelrett på hverandre. Hvis [tex]\vec l \perp \vec m[/tex] så må [tex]\vec l \cdot \vec m = 0[/tex]
c)
l = m
[tex]2+t = 3-s \,\,\, \wedge \,\,\, 1+\frac 12t = 3+s \\ \, \\ t = 1 - s \,\,\, \rightarrow \,\,\, 1+\frac 12 (1-s) = 3+s \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \frac 32 - \frac 12 s = 3 + s \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, -\frac 32s = \frac 32 \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, s = -\frac{\frac 32}{\frac 32}\\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, s = -1 \\ \, \\ t= 1 - (-1) \,\,\, \leftarrow \,\,\, s = -1 \\ \, \\ \underline{t = 2} \,\,\, \wedge \underline{s=-1}[/tex]
Finner koordinatene ved å bruke parameterfremstillingen for l
[tex]x = 2 + 2 = 4 \\ \, \\ y = 1 + \frac 12 \cdot 2 = 1+1 = 2[/tex]
Setter prøve ved å bruke parameterfremstillingen for m.
[tex]x = 3 -(-1) = 3 +1 = 4 \\ \, \\ y = 3+(-1) = 3-1 = 2[/tex]
Parameterfremstillingene tyder samme punkt. Koordinatene hvor linjene skjærer hverandre er [tex]Q(4,2)[/tex]
d)
A(2,1)
Q(4,2)
[tex]|\vec {AQ}| = \sqrt{(4-2)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{4 + 1} = \underline{\underline{\sqrt{5}}}[/tex]
a.1)
Dette kan ses på som et hypergeometrisk forsøk fordi:
- Sannsynligheten for hvilke nummer som blir trukket er uniform.
- Forsøket skjer uten tilbakelegging.
- Hassan velger en delmengde av en total mengde.
a.2)
[tex]P(1\,premie) = \frac{{{3} \choose {3}}}{{{12} \choose {3}}} = \frac{1}{220} \approx \underline{\underline{0.45\percent}}[/tex]
b)
[tex]P(2\, premie) = \frac{ {{3} \choose {2}} \cdot { {9} \choose {1} } }{ { {12} \choose {3} } } = \frac{27}{220} \approx \underline{\underline{12.27\percent}}[/tex]
c)
[tex]P(1\, premie\, |\, 7\, trukket) = \frac{ { {2} \choose {2} } } { { {11} \choose {2} } } = \frac{1}{55} \approx \underline{\underline{1.82\percent}}[/tex]
d)
[tex]P(2\, premie\, | \, 7\, trukket) = \frac{ { {2} \choose {1} } \cdot { {9} \choose {1} } } { { {11} \choose{2} } } = \frac{18}{55} \approx \underline{\underline{32.73\percent}}[/tex]
a)
Jeg plottet punktene inn under "stat" på kalkulatoren. "pwr"-funksjonen viser seg å være svært passende da den gir ut følgende verdier:
[tex]y = a\cdot x^b \left\{ \text{a=0.64408227\\b=2.53709268\\r=0.99966319\\r^2=0.99932651} \right[/tex]
Funksjonen blir derfor (etter avrundinger) passende ved:
[tex]f(x) = 0.64x^{2.5}[/tex]
Den største prosentvise forskjellen finner vi for x = 12.5
[tex]f(12.5) = 0.64\cdot 12.5^{2.5} \approx \underline{353.6 W}[/tex]
Tabellen viser 400 W for denne vindmøllehastigheten.
[tex]\frac{x}{353.6} = \frac{100}{400} \\ \, \\ x \approx \underline{88.4\percent}[/tex]
Effekten av tabellen er altså [tex]11.6 \percent [/tex]høyere enn det funksjonen beskriver.
b)
[tex]f(x) = 250 \\ \, \\ 0.64x^{2.5} = 250 \\ \, \\ x^{2.5} = \frac{250}{0.64} \\ \, \\ x = \sqrt[\frac 52]{390.625} \\ \, \\ x \approx \underline{\underline{10.9\, m/s}}[/tex]
c)
[tex]f(x) = 0.64 \cdot x^{\frac 52} \\ \, \\ f\prime(x) = 0.64 \cdot \frac 52 \cdot x^{\frac 32} \\ \, \\ f\prime(x) = 1.6x^{\frac 32}[/tex]
[tex]f\prime(10) = 1.6 \cdot 10^{\frac 32} \approx \underline{50.6}[/tex]
Denne verdien forteller oss at effekten øker med 50.6 W etter en vindstyrke på 10 m/s.
d)
Her er en grafisk fremstilling av log x og log f(x) i et koordinatsystem med logaritmiske akser.
Som vi ser, så passer de logaritmiske verdiene godt for en rett linje, gitt at vi har logaritmiske akser.
Videre var det naturlig å velge en potensfunksjon som modell for effekten som funksjon av vindhastigheten, fordi effekten øker eksponensielt med vindhastigheten. Det hadde selvsagt gått fint å bruke en eksponentialfunksjon med e som grunntall også.
e)
Verdier:
[tex]A = -0.1910586[/tex]
[tex]B = 2.53709268 \approx2.5[/tex]
[tex]log \left(f(x)\right) = A\cdot log x + B = 10^{log\left(f(x)\right)} = 10^{A \cdot lnx + B} = 10^{B} \cdot (10^{ln x})^A = 10^{B} \cdot x^A \\ \, \\ \, \\ f(x) = 10^{-0.1910586} \cdot x^{2.5} \\ \, \\ \, \\ \underline{\underline{f(x) = 0.64 \cdot x^{2.5}}}[/tex]
