Vektorregning 2MX, jeg løser.

[MatteNoob]

Hei.

Jeg har snart eksamen, og derfor velger jeg å løse noen vektoroppgaver og legger dem her. Oppgavene er fra 2mx matematikkboken fra Aschoug forlag.

Der jeg ikke klarer å regne ut, markerer jeg med rødt, og håper dere kan bidra. Jeg kryss-sjekker også egne svar mot fasit, og dersom jeg ikke forstår hvordan jeg skal regne en oppgave, legger jeg ved fasitsvaret.

Jeg lager en ny post for hver oppgave, slik at jeg tap av alle oppgavene ved et eventuelt strømbrudd, hehe.



a)

Fordi:
[tex]\vec{AB} \, \parallel \, k\cdot \vec{DC}[/tex]

En vektor har lengde og retning. Når to vektorer har samme retning, men ikke er like lange, sier vi at de er ensrettet. For at de skal være like, må vi multiplisere den ene av vektorene med en skalar (et tall) k, slik at at de blir like.

[tex]\vec{AB} = k\cdot \vec{DC} \\ \, \\ |\vec{AB}| = k\cdot |\vec{DC}|\\ \, \\ 9 = 4k \\ \, \\ \underline{\underline{k = \frac 94}}[/tex]

a.1)
[tex](\vec {AD}, \vec{AB}) =\underline{\underline{ 60\textdegree}}[/tex]

a.2)
[tex](\vec {AB}, \vec{BC}) = 180\textdegree - 45\textdegree =\underline{\underline{ 135\textdegree}}[/tex]

a.3)

[tex](\vec {DA}, \vec{AB}) = 180\textdegree - 60\textdegree =\underline{\underline{ 120\textdegree}}[/tex]

c.1)

[tex]\vec {AB} + \vec{BC} = \underline{\underline{\vec{AC}}}[/tex]

c.2)

[tex]\vec{AD} + \vec{DB} = \underline{\underline{\vec{AB}}}[/tex]

d.1)

[tex]\vec {AD} - \vec{AB} = \vec{AD} + (-\vec{AB}) = \underline{\underline{\vec {BD}}}[/tex]

d.2)

[tex]\vec {AC} - \vec{AB} - \vec{BA} = \vec {AC} + (-\vec{AB}) + (-\vec{BA}) = \vec {AC} + \vec{BA} + \vec{AB} = \underline{\underline{\vec {AC}}}[/tex]

[MatteNoob]

a)
Jeg orker ikke å tegne figur nå.

[tex]B\aa tens fart = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = \underline{\underline{5\, m/s}}[/tex]

b)

[tex]tan \angle \theta = \frac 34 \\ \, \\ \angle \theta = tan^{-1}(\frac 34) = \underline{36.869\textdegree} \\ \, \\ \, \\ 90\textdegree - \angle \theta \approx\underline{\underline{ 53.1\textdegree}}[/tex]

[MatteNoob]

a.1)

[tex]\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot cos(\vec a, \vec b) = 8.5 \cdot 2.5 \cdot cos (42.5\textdegree) \approx \underline{\underline{15.67}}[/tex]

a.2)

[tex]\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot cos(\vec a, \vec b) = 8.5 \cdot 2.5 \cdot cos(137.5\textdegree) \approx \underline{\underline{-15.67}}[/tex]

b.1)

[tex]|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot cos(\vec a, \vec b) = 8.6 \\ \, \\ cos(\vec a, \vec b) = \frac{8.6}{|\vec a| \cdot |\vec b|} \\ \, \\ (\vec a, \vec b) = cos^{-1}(\frac{8.6}{3.5 \cdot 4.0}) \\ \, \\ (\vec a, \vec b) \approx \underline{\underline{52.1\textdegree}} [/tex]

b.2)

[tex](\vec a, \vec b) = cos^{-1}(- \frac{8.6}{3.5 \cdot 4,0}) \\ \, \\ (\vec a, \vec b) \approx \underline{\underline{127.9\textdegree}}[/tex]

c.1)

[tex]\vec F \cdot \vec s = |\vec F| \cdot |\vec S| \cdot cos(\vec F, \vec s) = 1500N \cdot 50 m \cdot cos(60\textdegree) = 37500 Nm = 37500 J = \underline{\underline{37.5kJ}}[/tex]

c.2)

[tex]\vec F\cdot \vec s = |\vec F| \cdot |\vec s| \cdot cos(\vec F, \vec s) = 1500N \cdot 50m \cdot cos(45\textdegree) \approx 53000Nm = 53000J = \underline{\underline{53kJ}}[/tex]

[MatteNoob]

a)

[tex]\vec{AB} = [1 - (-3), -2 - (-2)] = \underline{\underline{ [4, 0]}} \\ \, \\ \, \\ \, \\ \vec{AC} = [3-(-3), 3-(-2)] = \underline{\underline{[6, 5]}}[/tex]

b)

[tex]F.eks\, [6, 5] \,\,\, der \, a=\frac 56[/tex]

Nedenfor har jeg laget en parameterfremstilling for linjen l. Dette kreves ikke av oppgaven, men jeg gjorde det likevel.

[tex]l = \vec{AC} \cdot t \\ \, \\ [x - (-3), y -(-2)] = [6,5] \cdot t \\ \, \\ [x + 3, y + 2] = [1, \frac 56] \cdot t \\ \, \\ [x+3, y +2] = [t, \frac 56 t] \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \\ l: \left\{\text{x=t-3\\ \\y=\frac 56t-2}\right[/tex]

[MatteNoob]

a.1)
[tex][2, -1] + [4, 3] = [2 + 3, -1 + 3] = \underline{\underline{[5, 2]}}[/tex]

a.2)
[tex][-4, 3] - [7, 5] = [-4 - 7, 3-5] = \underline{\underline{[-11, -2]}}[/tex]

b)
[tex][x-1, y] + 3\cdot[1+x, 2] = [10, -3] \\ \, \\ x-1 + 3(1+x) = 10 \,\,\, \wedge \,\,\, y + 3\cdot 2 = -3 \\ \, \\ \underline{\underline{x=4}} \,\,\, \wedge\,\,\, \underline{\underline{y = -\frac 12}}[/tex]

c.1)

[tex]\vec a = [12, t+3] \\ \, \\ \vec b = [3,7][/tex]

[tex]\vec a \, \parallel \, \vec b \cdot k \\ \, \\ [12, t+3] \, \parallel \, [3, 7] \cdot k\\ \, \\ 12 = 3k \,\,\, \wedge \,\,\, t+3 = 7k \\ \, \\ k = 4 \,\,\, \rightarrow \, \, \, t = 7 \cdot 4 - 3 = \underline{\underline{25}}[/tex]

Alternativ løsningsmetode:

[tex]\frac{(t+3)}{7} = \frac{12}{3} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, kryss-multipliserer \\ \, \\ 3(t+3) = 84 \\ \, \\ 3t = 84-9 \\ \, \\ t = \frac{75}{3} = \underline{\underline{25}}[/tex]

c.2)

Vi vet at
[tex]\vec{AB} = [4, 0] \,\,\, og\,\,\, \vec{BC} = [2, 5][/tex]

[tex]\left(\vec{AB} + s \cdot \vec{BC}\right) \, \parallel\, [2, 5] \cdot k \\ \, \\ [4,0] + [6s, 5s] = [2k, 5k] \\ \, \\ [4 + 6s, 5s] = [2k, 5k] \\ \, \\ \, \\ dette\, gir\, likningssettet \\ \, \\ 4+6s = 2k \,\,\, \wedge \,\,\, 5s = 5k \\ \, \\ k = \frac{4+6s}{2} \,\,\, \rightarrow\,\,\, 5s = 5\left(\frac{4+6s}{2}\right) \\ \ \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 5s = \frac{20 + 30s}{2} \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 5s = 10 + 15s \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, s = \frac{10}{-10} \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \underline{\underline{s =-1}}[/tex]

Alternativ løsningsmetode (denne foretrekker jeg):


[tex]\frac{5s}{5} = \frac{(4+6s)}{2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, kryss-multipliserer \\ \, \\ 5s \cdot 2 = 5(4+6s) \\ \, \\ 10s = 20 + 30s \\ \, \\ s = \frac{20}{-20} \\ \, \\ \underline{\underline{s = -1}}[/tex]

Vi må selvfølgelig ikke kryssmultiplisere, vi kunne også ha:

[tex]\frac{5s}{5} = \frac{4+6s}{2} \\ \, \\ s = 2 + 3 s \\ \, \\ -2s = 2 \\ \, \\ s = \frac{2}{-2} \\ \, \\ \underline{\underline{s = -1}}[/tex]

[MatteNoob]

a)

[tex]|\vec u| = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt {40} = \underline{\underline{2\sqrt{10}}[/tex]

[tex]|\vec v| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \underline{\underline{5}}[/tex]

b)

[tex]\vec u \cdot \vec v = [6, 2] \cdot [3, 4] = 18 + 8 =\underline{\underline{24}}[/tex]

[tex]cos(\vec u, \vec v) = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u|\cdot |\vec v|} \\ \, \\ \, \\ cos(\vec u, \vec v) = \frac{[6,2]\cdot[3,4]}{\sqrt{6^2 + 2^4} \cdot \sqrt{3^2 + 4^2}} \\ \, \\ cos(\vec u, \vec v) = \frac{18}{10\sqrt{10}} \\ \, \\ \, \\ (\vec u , \vec v) = cos^{-1}\left(\frac{18}{10\sqrt{10}}\right) \approx \underline{\underline{55.3\textdegree}}[/tex]

b)

[tex][-2, t] \, \perp \vec u \,\,\,\,\, n\aa r\, skalarproduktet\, er \, 0\, er\, st\aa r\, vektorene\, vinkelrett\, p\aa \, hverandre\\ \, \\ \, \\ [-2, t] \cdot [6,2] = 0 \\ \, \\ -12 + 2t = 0 \\ \, \\ 2t = 12 \\ \, \\ \underline{\underline{t = 6}}[/tex]

b)
[tex][-2s, 3s] \, \perp \, \vec v \\ \, \\ [-2s, 3s] \cdot [3, 4] = 0 \\ \, \\ -6s + 12s = 0\\ \, \\ s = 0 \\ \, \\ \, \\ \underline{\underline{Ja, \, dersom\, s = 0\, for\, \vec 0\, st\aa r\, vinkelrett\, p\aa\, alle\, vektorer.}}[/tex]