Egenvektor

[Tordenskjold]

Hei, jeg har problemer med å finne egenvektorer, generelt ikke bare denne oppgaven.

Om man har en matrise

1 9 0
2/3 0 0
0 1/6 0

Jeg har funnet egenverdiene 0,3,-2

Men så blir jeg usikker

Man setter opp ligningene med egenverdiene og setter inn egenverdiene

a-0 + 9 = 0
(2/3)a = 0
(1/6)b = 0

Er det noen som kan hjelpe meg med resten? jeg har prøvd å lese boka og jeg har lest de mange trådene på forumet, men jeg tror jeg må ha dette inn med teskje.

[Olorin]

[tex](A-\lambda I)=\left[\begin{matrix} 1-\lambda & 9 & 0\\ \\ \\ \frac23 & 0-\lambda & 0 \\ \\ 0 & \frac16 & 0-\lambda \end{matrix}\right][/tex]

Skulle teste først hvordan man skrev matriser i TeX

Uansett, du har regnet helt riktig mtp egenverdier. Jeg har ikke vært borti egenvektorer og egenverdier for 3x3 matriser før men tror det samme gjelder her.

Egenvektoren [tex]\vec{x}[/tex] er gitt ved [tex](A-\lambda I)\vec{x}=\vec{0}[/tex] der [tex]\vec{x}=\left[\begin{matrix}{cc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix}\right][/tex]

For [tex]\lambda_2=-2[/tex] gir matrisen, etter det er det foretatt en gauss-eliminasjon

[tex](A-\lambda_2 I)=\left[\begin{matrix} 3 & 9 & 0\\ \\ \\ \frac23 & 2 & 0 \\ \\ 0 & \frac16 & 2 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 3 & 9 & 0\\ \\ \\ 0 & 0 & 0 \\ \\ 0 & \frac16 & 2 \end{matrix}\right][/tex]

[tex](A-\lambda_2 I)\vec{x}=\vec{0}[/tex] gir likningssystemet

[tex]3x_1+9x_2=0\,\ \Rightarrow \,\ x_1=-3x_2\,\ \Rightarrow \,\ x_2=t,\,\ x_1=-3t[/tex]

[tex]\frac16x_2+2x_3=0,\,\ \Rightarrow \,\ x_3=-\frac1{12}x_2=-\frac1{12}t[/tex]

Gir egenvektorene:

[tex]\vec{x}=\left[\begin{matrix} -3t \\ \\ \\ t \\ \\ \\ -\frac1{12}t\end{matrix}\right]=t\left[\begin{matrix} -3 \\ \\ \\ 1 \\ \\ \\ -\frac1{12}\end{matrix}\right],\,\ t\ne 0[/tex]

[tex]t=1[/tex] gir følgende egenvektor [tex]\vec{k_2}=\left[\begin{matrix} -3 \\ \\ \\ 1 \\ \\ \\ -\frac1{12}\end{matrix}\right][/tex]

Dette er ihvertfall fremgangsmåten jeg benyttet tidligere. Skal se over mer når jeg våkner imorgen, så tar forbehold om feil. Det kan også hende at denne metoden er ulovlig for denne typen matriser.

[Tordenskjold]

Tusen takk, men hva gjør man ved lamda = 0?

Da får man (2/3)a - 0 +0 = 0

[Olorin]

Så den egenvektoren jeg kom frem til var en av løsningene? Kan se litt på [tex]\lambda_1=0[/tex] Husker igår at den var litt vrien..

[Tordenskjold]

Jeg regner med det, men jeg er ikke sikker. Oppgaven var
I en modell i populasjonsdynamikk er populasjonen inndelt i re aldersgrupper. Overgangsmatrisen er gitt ved (matrisen i åpningsinnlegget)

a) finn egenverdiene til matrisen M (funnet)

b) bestem stabil aldersfordeling

x
y
z

slik at x + y + z = 100

x,y og z er alle positive

fasiten på b er
x = 91 y = 18 z = 1

[Olorin]

Hvis du finner egenvektoren for [tex]\lambda_3=3[/tex] har du svaret ditt

[Tordenskjold]

Jeg tror jeg trenger mer hjelp.

På egenvektoren til 0 fikk jeg

-9
1
1

Her er jeg veldig usikker, på andre rad får man
(2/3)a- 0b + 0c= 0

på tredje får man

(1/6)b -0c = 0

På egenvektoren til 3 fikk jeg

9/2
1
1/18

Er dette riktig og kan du hjelpe meg videre?

[Karl_Erik]

(Har marginalt dårlig tid akkurat nå, så beklager hvis svaret mitt er manglende eller ikke helt det du spurte om.) Egenvektoren du har funnet for lambda lik 3 ser ut til å være helt riktig. Når du vil finne en stabil aldersfordeling slik at summen av de tre aldersgruppene er 100 må du huske at hver av vektorens tre komponenter er antallet mennesker i hver aldersgruppe. Det totale antallet mennesker blir da summen av vektorens komponenter. Du vet sannsynligvis også at du fint kan gange en egenvektor med et tall og få en ny egenvektor (med samme egenverdi), så alt du behøver å gjøre er å gange vektoren med en trivelig variabel og så sette opp en likning med t som ukjent.

Likningen du står igjen med blir (9/2)t + t + (1/18)t = 100. Når du har funnet verdien av t kan du så gange egenvektoren du fant med t og stå igjen med en ny egenvektor som har komponenter som til sammen blir 100. Den vil være en stabil aldersfordeling i og med at den er en egenvektor til overgangsmatrisen og samtidig inneholde til sammen 100 mennesker, og altså svaret du leter etter.

[Tordenskjold]

Tusen takk, men jeg forstår ikke helt fremgangsmåten. Trenger man bare å se på den ene egenvektoren og hvorfor skulle jeg bruke akkurat denne egenvektoren?

[Karl_Erik]

Egenvektoren med egenverdi 0 hadde som du ser en negativ komponent. Siden det er vanskelig å ha et negativt antall mennesker i en aldersgruppe sier det seg selv at du ikke kan bruke den, og da har vi jo eliminert den ene av de tre mulighetene. Måten jeg løste denne oppgaven på var rett og slett ved å finne alle tre egenvektorene og se hva som passet inn. Elegant er det kanskje ikke, men så lenge matrisen er såpass liten som den var her funker det jo greit nok.

[Tordenskjold]

Tusen takk.