Polarkordinater

[Wentworth]

Jeg har en lommeregner som er av typen: Casio fx-9750G PLUS som jeg prøver å bruke for å løse denne oppgaven.

Oppgave 53.3:
Kurven $K$ er gitt ved ;
$r=|sin2\theta |,\theta \in [0,2\pi ]$.

b) Finn arealet av det flatestykket avgrenset av kurven.

Noen forslag som kan synliggjøres?

[Badeball]

Arealet blir integralet av 1/2 * r^2 d(theta) fra 0 til 2PI. Det er formelen for å regne ut arealer via polarkoordinater.

[Wentworth]

Okey,jeg prøver;

$\frac{1}{2}\int (|sin\theta |{)}^{2}d\theta =\frac{1}{2}[(|cos\theta |{)}^2{]}_0^{2\pi }$

Som dere ser så har jeg problemer med å løse denne,hjelp meg...

[Badeball]

Det skal være 2theta, ikke theta i integralet ditt. Dette integralet kan du løse via delvis integrasjon, eller du kan skrive om til 1- cos^2, og bruke at cos 2x = 2cos^2 x - 1. Men når man tar integralet av cos^2 x eller sin^2 x over et intervall som har bredde 2PI, PI eller PI/2, så finnes det et triks:

I intervallet 0 til 2PI, eller 0 til PI, eller 0 til PI/2, samt flere intervaller hvor vi ikke begynner i 0, så vil cos^2 x og sin^2 x innta nøyaktig samme verdier, men på forskjellige punkter i intervallene. Følgelig vil integralene av begge funksjoner i disse intervallene være LIKE. Men vi har også at cos^2 x + sin^2 x = 1, altså blir integralet f.eks. fra 0 til 2PI av sin^2 x lik halvparten av integralet av funksjonen 1 over samme intervall, altså PI. Du kan bruke denne ideen til å løse ditt bestemte integral uten å antiderivere. Bare husk å substituere slik at du får integralet av sin^2(u) ikke sin^2(2x), hvor u = 2x.

[Wentworth]

Setter stor pris på at du har forklart det.

Jeg prøver dette slik:

$\frac{1}{2}\int (|sin2\theta |{)}^{2}d\theta =\frac{1}{2}[|1-co{s}^{2}2\theta {]}_0^{2\pi }$

Hvordan kommer jeg egentlig fram til den riktige antideriverte?

[Badeball]

Jeg vet ikke hvilket nivå du er på, men har du hatt tilsvarende til 3MX/Matematikk 2R, så skal du kunne antiderivere funksjonen sin^2 (2x). Hvis du ikke har tilsvarende matematikkunnskaper, så er denne oppgaven på for høyt nivå.

Her er svaret på oppgaven. Arealet er gitt ved:

$A=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{\sin }^2(2\theta )d\theta =\frac{1}{4}\text{(}{\int }_0^{2\pi }{\sin }^2(2\theta )d\theta +{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2(2\theta )d\theta \text{)}=\frac{1}{4}\text{(}{\int }_0^{2\pi }{\sin }^2(2\theta )+{\cos }^2(2\theta )d\theta \text{)}=\frac{1}{4}{\int }_0^{2\pi }d\theta =\frac{\pi }{2}$

Her har jeg ikke antiderivert, men brukt teknikken jeg beskrev i tidligere innlegg for å finne verdien til det bestemte integralet.

[Wentworth]

Setter pris..Jeg har jobbet med enhetsformlen.Men har du brukt delvis integrasjon? For jeg skjønte ikke mye av teknikken du har brukt.Hvordan blir løsningen med antiderivering?





EDIT: Den deriverte av $(si{n}^2(2x))‘=2co{s}^2(2x)$