Heisann!
Har en oppgave i TMA4100 - Matte 1 her, hvor spørsmålet rett og slett er:
"Explain why the equation cos x = x has atleast one solution."
Her må jeg si at jeg er temmelig blank. Joda, jeg finner frem til et svar ved å trykke med frem på kalkulatoren, men hvordan kan jeg forklare det?
Forklare hvorfor cos x = x har minst en løsning
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Se på funksjonen f(x) = x - cos(x). Hvis denne har et nullpunkt, så har vi at f(x) = x - cos(x) = 0, som gir at cos(x) = x. Vis at denne har minst ett nullpunkt, så er du i mål.
Hint: Skjæringssetningen (eller, hvis du ikke har hørt om den, bruk at funksjonen er kontinuerlig, og sunn fornuft).
Hint: Skjæringssetningen (eller, hvis du ikke har hørt om den, bruk at funksjonen er kontinuerlig, og sunn fornuft).
Du trenger ikke regne mye for å forklare det.
Du vet at funksjonen cos x er periodisk med et intervall på 2[symbol:pi], og vil krysse x-aksen to ganger for hver [symbol:pi] du legger til x.
Du kan bruke skjæringssetningen, men den er klønete hvis du vil lage et generelt uttrykk. Men hvis hensikten er å fortelle at den har minst to løsninger, kan du fint bruke den.
Men den har løsning 0 + k[symbol:pi], der k er et tall element i Z (dvs. alle hele tall fra - [symbol:uendelig] til [symbol:uendelig])
Hint: Tegn en enhetssirkel
Du vet at funksjonen cos x er periodisk med et intervall på 2[symbol:pi], og vil krysse x-aksen to ganger for hver [symbol:pi] du legger til x.
Du kan bruke skjæringssetningen, men den er klønete hvis du vil lage et generelt uttrykk. Men hvis hensikten er å fortelle at den har minst to løsninger, kan du fint bruke den.
Men den har løsning 0 + k[symbol:pi], der k er et tall element i Z (dvs. alle hele tall fra - [symbol:uendelig] til [symbol:uendelig])
Hint: Tegn en enhetssirkel
Gnome, tror du har misforstått. Ligningen er [tex]\cos(x)=x[/tex], ikke [tex]\cos(x)=0[/tex].
Det er jo logisk at de skjærer i minst ett punkt, ettersom [tex]g(x)=\cos (x)[/tex] "starter" i [tex]g(0)=1[/tex] og går ned til null i [tex]g(\frac{\pi}{2})=0[/tex]. [tex]f(x)=x[/tex] starter derimot i [tex]f(0)=0[/tex] og stiger til [tex]f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}[/tex]. Da er det ingen vei utenom. Funksjonene må krysse hverandre i minst ett punkt.
Det er jo logisk at de skjærer i minst ett punkt, ettersom [tex]g(x)=\cos (x)[/tex] "starter" i [tex]g(0)=1[/tex] og går ned til null i [tex]g(\frac{\pi}{2})=0[/tex]. [tex]f(x)=x[/tex] starter derimot i [tex]f(0)=0[/tex] og stiger til [tex]f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}[/tex]. Da er det ingen vei utenom. Funksjonene må krysse hverandre i minst ett punkt.