Å finne tangentplanet

[espen180]

Jeg tenkte jeg skulle prøve å finne tangentplanet til en flate på et bestemt punkt. Jeg har akkurat lært om gradientvektorfelt og tenkte det kanskje kunne virke.

Jeg prøvde med funksjonen [tex]z=\frac{1}{10}x^2+\frac{1}{10}y^2[/tex]. Da fant jeg gradienten til funksjonen, [tex]\nabla z=\frac15x\text{i}+\frac15y\text{j}[/tex], valgte et punkt (1,2), fant z-verdien for punktet og tok et par retningsderiverte:

[tex]z(1,2)=\frac12[/tex]

[tex]D_u z=\nabla z \cdot [1,0]=\frac15 \\ D_v z=\nabla z \cdot [0,1]=\frac25[/tex]

Da antok jeg at linjene [tex]l_1=\left(1,2,\frac12\right)+k\left[1,0,\frac15\right][/tex] og [tex]l_2=\left(1,2,\frac12\right)+m\left[0,1,\frac25\right][/tex] lå i planet, og tangentplanet kunne vises som [tex]\Pi_{(1,2)}=\left[1,2,\frac12\right]+k\left[1,0,\frac15\right]+m\left[0,1,\frac25\right][/tex].

Gjør jeg riktig her? Har jeg grunnlag til å anta dette?

EDIT: Fiksa konstantvektoren i tangentplanet.

[Janhaa]

Ser ikke helt riktig ut. Tangentplanet[tex]\,\,\Pi\,\,[/tex]til z i punktet (1, 2) er gitt ved:

[tex]\Pi=z(1,\,2)\,+\,\nabla z(1,\,2)\cdot [x-1,\,y-2][/tex]

rett fra boka... osv

[espen180]

Takker.

Og følgelig er vel [tex]\Pi=z(a,b)+\nabla z(a,b)\cdot [x-a,y-b][/tex] for alle funksjoner av (x,y)?

[Janhaa]

Takker.
Og følgelig er vel [tex]\Pi=z(a,b)+\nabla z(a,b)\cdot [x-a,y-b][/tex] for alle funksjoner av (x,y)?

jeg har ikke boka her altså..., men det jeg husker er at flata må være kontinuerlig deriverbar...

[espen180]

Skjønner. Takk for hjelpen.