Grenseverdier [LØST]

[pandorasbox]

Hvordan finner man grenseverdien uten å bruke L'Hopitals regel, eller L'Hopitalsregel er den eneste måten for å løse slike oppgaver?

f.eks. finn grense verdiene til :
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}(cosx-1)sin \left(\frac1{x^3})[/tex]

og

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x+1)sin(x)}{x}[/tex]

[Janhaa]

Hvordan finner man grenseverdien uten å bruke L'Hopitals regel, eller L'Hopitalsregel er den eneste måten for å løse slike oppgaver
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x+1)sin(x)}{x}[/tex]

[tex]\lim_{x\to 0} \frac{(x+1)\sin(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}\lim_{x\to 0}(x+1)=\lim_{x\to 0}\,(x+1)[/tex]

[pandorasbox]

hei, takk for tilbakemeld. Men vil det si at vi kan skrive det slik:

[tex]\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1[/tex][tex] \lim_{x\to 0}\,(x+1)=1[/tex]

altså [tex]1 * 1=1[/tex] --> [tex]\lim_{x\rightarrow%200}\frac{(x+1)sin(x)}{x} = 1[/tex]

hva med den andre grensen, kunne du vist det også ?

[BMB]

Siden grenseverdien til begge faktorene [tex](x+1)[/tex] og [tex]\frac{sinx}{x}[/tex] eksisterer, kan du splitte opp produktet du skal finne grenseverdien av.

[tex]\lim_{x \to 0}\frac{(x+1)sinx}{x}=\lim_{x \to 0}(x+1) \cdot \lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}[/tex]

Det viktige her er at grenseverdiene for faktorene du splitter produktet opp i eksisterer.

[pandorasbox]

tusen takk Janhaa & BMB,
er det riktig å si at [tex]\lim_{x\rightarrow%200}(cosx-1)sin%20\left(\frac1{x^3})=[/tex] EKSISTERER IKKE ?

[BMB]

Jo, den eksisterer. Problemet er bare at den ene faktoren går mot 0, mens den andre ikke konvergerer.

Edit: Så et lignende eksempel i boka mi, og da var det nok å begrunne at grenseverdien var 0 med at den ene faktoren går mot 0.[/tex]

[mrcreosote]

Stemmer det, BMB. Når du ganger et reelt tall med noe som går som 0, får man 0. Får man derimot noe som går mot 0 ganger noe som går mot vridd åtter, kan ikke umiddelbart trekke noen konklusjon.

Formelt: [tex]|(\cos x-1)\sin y-0|=|\sin y|\cdot|\cos x-1|\le|\cos x-1|\rightarrow0[/tex]. Følgelig er grenseverdien 0.

[pandorasbox]

tusen takk til alle nå er jeg med.