Formelle definisjonen av grenseverdi

[pandorasbox]

Jeg har en oppgave som jeg er nesten ferdig med, men har en siste utregning som jeg står fast i. Det gjelder den formelle definisjonen av grenseverdi ([tex]\varepsilon - \delta-[/tex]definisjonen).

I oppgaven skulle jeg bruke [tex](\varepsilon - \delta-[/tex]definisjonen) til å vise at [tex]\lim_{x\to 1}\frac{2x^2+2}{x+1}=2 [/tex]

her er så langt jeg kom i oppgaven, får håpe få litt hjelp med den siste biten

gitt en [tex]\varepsilon >0[/tex] , så eksisterer en[tex] \delta >0 (\delta= \delta(\varepsilon)>0)[/tex]

vil vise [tex]0<|x+1|< \delta \Rightarrow |\frac{2x^2+2}{x+1}-2|< \delta .[/tex]

[tex]|\frac{2x^2+2-2(x+1)}{x+1}|< \delta[/tex]

[tex]|\frac{2x^2+2-2x-2)}{x+1}| < \delta[/tex]


[tex]|\frac{2x^2-2x}{x+1}| < \delta[/tex]


[tex]|\frac{2x(x-1)}{(x+1)}|<\delta[/tex]

hvordan finner jeg nå [tex]\varepsilon[/tex] ?

Edit: ops, my bad

[mrcreosote]

Det er ikke eps, men delta du skal finne. Du vil vel også ha 0<|x-1|<d. Hvis du nå kan estimere 2x/(x+1), er du godt på vei.

[pandorasbox]

Det er ikke eps, men delta du skal finne. Du vil vel også ha 0<|x-1|<d. Hvis du nå kan estimere 2x/(x+1), er du godt på vei.

hva mener du... sorry, men forstod ikke helt

[mrcreosote]

Anta at d<1/2. Da er 1/2<x<3/2. (Men x er ikke 1, det kommer jeg ikke til å fortsette å skrive.) Dette gir 1<2x<3 og 3/2<x+1<5/2. Ser du nå at du kan estimere |2x/(x+1)|, altså finne ei øvre grense, si k, for denne? Hva nå hvis du velger d=eps/k forutsatt at dette er mindre enn 1/2?

Prøv deg litt fram med dette. Epsilon-delta er ikke lett, men man får taket på det om man trener mye og bruker hue litt. Virker som du er et stykke på vei, lykke til videre!

[pandorasbox]

takk for infoen skal prøve ...