Matematisk Induksjon

[pandorasbox]

Hei,
Jeg lurer på noe gjelder bevise den deriverte vha. matematisk induksjon.

spørsmålet er : finn den n'te deriverte av funksjonen

f(x) 1/ (x+1)^3

Det jeg kom fram til:

f(x)=1/ (x+1)^3 --> f(x)=(x+1)^-3

f'(x)=(-3)(x+1)^-4 = 12(x+1)^-4

f''(x)=(-3)(-4)(x+1)^-5 = -60(x+1)^-5

f'''(x)=(-3)(-4)(-5)(x+1)^-6 = 360(x+1)^-6


jeg får ikke til å finne n'te deriverte, jeg har også prøvd å sette den slik:

f(n) (x) = n! (-n-1) (x+1)^(-n-1) , men det blir feil.

har noen ideer om hvordan skal jeg finne n'te deriverte?



feil om -60(x+1)^5 rettet --> -60(x+1)^-5

[FredrikM]

Du har rotet litt med er lik-tegnene. [tex](-3)(-4)(x+1)^{-5} \not= -60(x+1)^5[/tex]

Slik det ser ut som for meg, kan den n-te deriverte skrives slik:
[tex]f(x)^{,n}= (-1)^n \cdot n! \cdot \frac{1}{(x+1)^{3+n}}[/tex]

[pandorasbox]

Du har rotet litt med er lik-tegnene. [tex](-3)(-4)(x+1)^{-5} \not= -60(x+1)^5[/tex]

Slik det ser ut som for meg, kan den n-te deriverte skrives slik:
[tex]f(x)^{,n}= (-1)^n \cdot n! \cdot \frac{1}{(x+1)^{3+n}}[/tex]

ja, men hvordan kom du fram til det?, skal man ikke derivere 2-3 ganger sånn at man får oversikt over n ?

[mrcreosote]

Mangler det ikke en faktor 2 en plass her?

[pandorasbox]

Jeg sliter fortsatt med denne oppgaven... plz hjelp :-S

[FredrikM]

Mangler det ikke en faktor 2 en plass her?

På min ting?

[mrcreosote]

Gjør en liten innsats da, mennesker! Hvis du ser på formelen din, Fredrik, ser du at den krasjer allerede for n=1. Jobb litt mer med hva konstanten foran 1/(x+1)^p skal være.

[pandorasbox]

kan finne f', f'', f''' ... men eneste jeg trenger er å finne den formelen. Tro meg, har brukt mange timer på det der, men ingen nytte!

det hadde vært kjempe fint om noen kunne forklare hvordan finner jeg den n'te deriverte.

takk skal dere ha så langt...

[FredrikM]

Du har rotet litt med er lik-tegnene. [tex](-3)(-4)(x+1)^{-5} \not= -60(x+1)^5[/tex]

Slik det ser ut som for meg, kan den n-te deriverte skrives slik:
[tex]f(x)^{,n}= (-1)^n \cdot n! \cdot \frac{1}{(x+1)^{3+n}}[/tex]

[tex]f(x)^{,n}=2 \cdot (-1)^n \cdot (n+2)! \cdot \frac{1}{(x+1)^{3+n}}[/tex]

Denne ser litt mer rett ut.

Men jeg tar meg ikke tid til å bevise den.

[Charlatan]

Kan du induksjon er det veldig enkelt. Det du trenger å vise er at hvis du deriverer den n'te deriverte av funksjonen får du den n+1'te deriverte av funksjonen gitt ved formelen din, etter å ha bevist at formelen stemmer for n=1.

[FredrikM]

Hm. Okei. I'll give it a try.

[tex]f(x)^{,n}=2 \cdot (-1)^n \cdot (n+2)! \cdot \frac{1}{(x+1)^{3+n}}[/tex]

Tester for n=1 og ser at det stemmer.

Antar så at det stemmer for n=k:
[tex]f(x)^{,k}=2 \cdot (-1)^k \cdot (k+2)! \cdot \frac{1}{(x+1)^{3+k}}[/tex]

Deriverer så dette:
[tex]f(x)^{,k+1}=2 \cdot (-1)^k \cdot (k+2)! \cdot \frac{-3-k}{(x+1)^{k+4}}=[/tex]
[tex]f(x)^{,k+1}=2 \cdot (-1)^{k+1} \cdot (k+2)! \cdot \frac{3+k}{(x+1)^{k+4}}=[/tex]
[tex]f(x)^{,k+1}=2 \cdot (-1)^{k+1} \cdot (k+2)!(k+3) \cdot \frac{1}{(x+1)^{k+4}}=[/tex]
[tex]f(x)^{,k+1}=2 \cdot (-1)^{k+1} \cdot (k+3)! \cdot \frac{1}{(x+1)^{k+4}}[/tex]

Tester vi så antakelsen på dette (som vi har derivert), ser vi at det blir det samme svaret.

QED.

Holder dette?

[Charlatan]

Om det holder ja! Det er standard metode for induksjon.

[pandorasbox]

tusen takk til alle, spes. FredrikM for beviset