Ligningssystem 3x3-matrise

[espen180]

Jeg forsøkte å løse et ligningssystem med [tex]X=A^{-1}B[/tex]-metoden. Jeg klarer å vise at det finnes kun én løsning, men jeg klarer ikke å finne løsningen. Den rette løsningen er x=0, y=-1 og z=1. Her er utregningen min. (Jeg har ikke tatt med alle mellomregningene, men hovedpunktene er der. Hva har jeg gjort galt?

[tex]\left{\begin{matrix} 3x & -2y & +z & =3 \\ x & -y & -z & =0 \\ -2x & & +z & =1\end{matrix} \right} \, \rightarrow \, AX=B \, \rightarrow \, \left[\begin{matrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x \\ y \\z \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right] \\ \det(A)=-1 \, \Leftrightarrow \, X=A^{-1}B \\ A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}adj(A) \\ adj(A)=\left[\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{matrix}\right] \\ A^{-1}=-1\cdot adj(A)=\left[\begin{matrix} -3 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \end{matrix}\right] \\ X=A^{-1}B=\left[\begin{matrix} -3 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} -10 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}\right] \\ x=-10 \\ y=2 \\ z=5[/tex]

All hjelp mottas med takk.

[Thales]

kan du ikke bruk den metoden hvor du definere først for eksempel x, med y og z og så y med z, og finner svaret?

[Bogfjellmo]

Den adjungerte matrisa er feil. Det ser ut som om du bare har ganget hvert element med [tex](-1)^{i+j}[/tex].

Du må finne kofaktorene først. Disse skal ganges med [tex](-1)^{i+j}[/tex]. Deretter skal matrisa transponeres.

[espen180]

Ok. Har lest litt mer om det, og det skulle nå bli:

[tex]1. \, Minors: \\ \left[\begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ -2 & 5 & -4 \\ 3 & -4 & -1 \end{matrix}\right] \\ 2. \, Cofactor: \\ \left[\begin{matrix} -1 & 1 & -2 \\ 2 & 5 & 4 \\ 3 & 4 & -1 \end{matrix}\right] \\ 3. \, Transpose: \\ \left[\begin{matrix} -1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 4 \\ -2 & 4 & -1 \end{matrix}\right] \\ adj(A)=\left[\begin{matrix} -1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 4 \\ -2 & 4 & -1 \end{matrix}\right][/tex]

Så tar vi det derfra. Innså også at det(A) er feil, så jeg tar den på nytt også.

[tex]\det(A)=-3-2-2=-7 \\ A^{-1}=-\frac17adj(A)=\left[\begin{matrix} \frac{1}{7} & -\frac27 & -\frac37 \\ -\frac17 & -\frac57 & -\frac47 \\ \frac{2}{7} & -\frac47 & \frac{-1}{7} \end{matrix}\right] \\ X=A^{-1}B \\ X=\left[\begin{matrix} \frac{1}{7} & -\frac27 & -\frac37 \\ -\frac17 & -\frac57 & -\frac47 \\ \frac{2}{7} & -\frac47 & \frac{-1}{7} \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{matrix}\right] \\ x=0 \\ y=-1 \\ z=1[/tex]

Der klaffet det. Takk for hjelpen, Bogfjellmo!