Tilbakemelding på løsningsforslag, middelverdisetningen

[FredrikM]

10. Anta at a er et reelt tall, [tex]0 \leq a \leq 1[/tex]. Vis at
[tex](1+x)^a \leq 1 + ax \, \, \, \, \forall \,x \g -1[/tex]

Vil bare vite om konklusjonen jeg trekker på slutten er selvinnlysende nok.

---
Jeg setter: [tex]f(x) = (1+x)^a[/tex], og følgelig er [tex]f^,(x)=a(1+x)^{a-1}[/tex]

I følge middelverdisetningen fins det en c slik at (velger mellom 0 og x)
[tex]f^,(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{(1+x)^a-1}{x}=a(1+c)^{a-1}[/tex]

Vi ordner på uttrykket og får:
[tex](1+x)^a=xa(1+c)^{a-1}+1=\frac{xa}{(1+c)^{1-a}} +1[/tex]

Og vi ser at dette fører til at:
[tex](1+x)^a = \frac{xa}{(1+c)^{1-a}} \leq 1+ ax[/tex]

Dette kan begrunnes med at hvis a er 0, så må VS være mindre enn HS fordi c > 0. Er a på sitt maksimum, altså 1, vil VS=HS. Derfor må altså ulikheten holde.

Men er denne begrunnelsen god nok?

[Karl_Erik]

Det du sier i det siste avsnittet ditt er at venstresiden antar sin høyeste verdi når a=1 og at når denne selv på sitt maksimum er mindre enn høyresiden må den alltid være mindre enn høyresiden. Begge deler ser for meg helt riktig ut, så jeg ser ingen grunn til at begrunnelsen din skulle være for dårlig.

[FredrikM]

Ok. Så jeg trenger ikke vise påstånden min? Den er altså - slik jeg ser den - self-evident? (i mangel av norske ord)

[2357]

Opplagt er et greit norsk ord.

[fish]

Så vidt jeg kan se, har du forutsatt at [tex]x>0[/tex] (og dermed [tex]c>0[/tex]. Derfor gjenstår det å se hva som skjer når [tex]x[/tex] er negativ (slik at også [tex]c[/tex] blir negativ).

[FredrikM]

Har forutsatt at x > -1 (se oppgaveteksten), men dette endrer ikke ulikheten så vidt jeg kan se, og jeg "føler" fremdeles at den lar seg begrunne godt kun med ord.

[Karl_Erik]

Det endrer jo litt på ting. I begrunnelsen din bruker du bl.a. at c>0. I og med at c ligger mellom 0 og x blir jo c<0 når x<0, så om man skal pirke litt er argumentasjonen din så langt bare gyldig for x>0. Du har altså ikke tatt deg av tilfellet -1<x<0. Må innrømme at jeg overså dette helt tidligere, beklager. Du kan føre rimelig lik argumentasjon her også, altså.

[FredrikM]

Etter litt tenking, ser jeg at det holder fint for [tex] x \in [-1,0][/tex].

[tex](1+x)^a = \frac{xa}{(1+c)^{1-a}} \leq 1+ ax[/tex]

Eller uhm.

Får prøve å argumentere:

Er [tex]x \in [-1,0][/tex], så vil VS være negativ, noe høyreside ikke kan bli, fordi [tex] a \in [0,1][/tex]. Dermed med det også stemme for [tex][tex][/tex]x \in [-1, 0].

Holder dette?

[mrcreosote]

Du har slurva litt når du skriver om; det mangler en +1 etter x^a*(1+c)^(a-1). Når du får denne på plass, lyder ulikheta du skal vise [tex]ax(1-(1+c)^{a-1})\ge0[/tex]. Som du sier lønner det å dele opp i forskjellige tilfeller.

Du mangler en \ i signaturen!

[FredrikM]

*rote*

[tex](1+x)^a = \frac{xa}{(1+c)^{1-a}} +1 \leq 1+ ax[/tex]
[tex](1+x)^a = \frac{1}{(1+c)^{1-a}}\leq 1[/tex]

Og dette uttrykket ser for meg alltid ut til å være < 0. Opplagt.

[mrcreosote]

Hva gjør du her? Vi har i alle fall ikke at [tex](1+x)^a\le1[/tex] for alt vi kikker på. Er dette bare for negative x?

[FredrikM]

Haha, for noe rot. Forrige post var bare et teit resultat av å ikke lese nøye nok gjennom hva jeg gjorde feil forrige gang. Grrr.

[tex](1+x)^a = \frac{xa}{(1+c)^{1-a}} +1 \leq 1+ ax[/tex]

Denne ser for meg ut til å holde for alle x > -1. Am I right?

Flaut med alt dette rotet...