Bevisføring av logaritmesetningene.

[mariusea]

Hei. Hvordan beviser man logaritmesetning en, to og tre?

[Vektormannen]

Kan du si hva disse setningene er? "logaritmesetning 1,2 og 3" er bare noen navn boka di har gitt dem.

[Vektormannen]

Ok, R1-boka mi kaller [tex]\lg(a^b) = b \lg a[/tex] for første logaritmesetning, [tex]\lg(ab) = \lg a + \lg b[/tex] for den andre og [tex]\lg(\frac{a}{b}) = \lg a - \lg b[/tex] for den tredje.

Nøkkelen til disse bevisene er å finne to uttrykk for det samme tallet. Jeg kan ta beviset for den første setningen.

Finner to uttrykk for [tex]a^b[/tex]: [tex]a^b = 10^{\lg(a^b)}[/tex] og [tex]a^b = (10^{\lg a})^b[/tex]. Disse uttrykkene må nødendigvis være like. Da har vi at [tex]10^{\lg(a^b)} = (10^{\lg a})^b[/tex]. Potensregelen [tex](a^b)^c = a^{bc}[/tex] gir da at [tex](10^{\lg a})^b = 10^{b \cdot \lg a}[/tex].

Vi har altså at [tex]10^{\lg(a^b)} = 10^{b \lg a}[/tex] og da må [tex]\lg(a^b) = b \cdot \lg a[/tex].

De andre setningene kan bevises på en tilsvarende måte.