Bevise kontinuitet i øvre/nedre integral

[kjey]

Jeg har aldri vært noen ekspert i å bevise påstander, men tenkte jeg skulle gjøre et forsøk på ukens kanskje vanskeligste ukesoppgave. Jeg er nesten sikker på at beviset blir feil ved ett eller annet punkt fordi jeg muligens har med en feil antagelse, men skriver opp alt jeg har kommet fram til fordet.

OPPGAVE

I denne oppgaven skal man komme fram til at dersom $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ er begrenset, så er funksjonene

$G(x)=\overline{{\int }_a^x}f(t)dt$ og $H(x)=\underset{―}{{\int }_a^x}f(t)dt$ kontinuerlige.

A) Anta at $|f(x)|\le M$ for alle $x\in [a,b]$. Vis at for alle $x_1,x_2\in [a,b]$ er $|G(x_1)-G(x_2)|\le M|x_1-x_2|$ og $|H(x_1)-H(x_2)|\le M|x_1-x_2|$.

B) Bruk (A) og definisjonen av kontinuitet til å vise at $G$ og $H$ er kontinuerlige på $[a,b]$.
------------

A) Antar først at $a\le x_2\le x_1$. Da vet jeg fra setning 8.3.1 (i Kalkulus) at

$\overline{{\int }_a^{x_1}}f(t)dt=\overline{{\int }_a^{x_2}}f(t)dt+\overline{{\int }_{x_2}^{x_1}}f(t)dt\iff \overline{{\int }_{x_2}^{x_1}}f(t)dt=\overline{{\int }_a^{x_1}}f(t)dt-\overline{{\int }_a^{x_2}}f(t)dt$.

Det samme gjelder også for de nedre integralene, så dette betyr at

$|G(x_1)-G(x_2)|=|\overline{{\int }_{x_2}^{x_1}}f(t)dt|$
og
$|H(x_1)-H(x_2)|=|\underset{―}{{\int }_{x_2}^{x_1}}f(t)dt|$.

Vet at hvis jeg velger $f(x)=M$, får jeg det største "arealet" i $[x_2,x_1]$ som oppfyller $|f(x)|\le M$. Siden $f$ er konstant må følgende gjelde:

$\overline{{\int }_{x_2}^{x_1}}f(t)dt=\underset{―}{{\int }_{x_2}^{x_1}}f(t)dt={\int }_{x_2}^{x_1}f(t)dt$.

Da står det igjen å vise

$|{\int }_{x_2}^{x_1}f(t)dt|=|{\int }_{x_2}^{x_1}Mdt|=|{[Mt]}_{x_2}^{x_1}|=|M{x}_1-M{x}_2|=|M||x_1-x_2|\le M|x_1-x_2|$.
--------

På den aller siste delen er jeg litt usikker på om jeg kan anta at M er positiv Uansett, er det noe som er helt feil i bevisforsøket mitt?

(Oppgave B) har jeg ikke begynt på...)

[Charlatan]

M må være positiv da $|f(x)|\le M$

[kjey]

Ja, det er sant det! Men er beviset riktig?

[Charlatan]

Hva slags notasjon er $\bar{a}$, og $\underset{―}{x}$?

Uten å ta hensyn til det, ser beviset helt riktig ut, uten at jeg vet om det er rigorøst nok å si at arealet under $g(t)=M$ er større enn $f(t)$ fra $a$ til $x$ når $|f(t)|\le M$ . Det er iallefall logisk opplagt.

Hva er definisjonen av kontiunitet?

[kjey]

Notasjonen står for øvre og nedre integral. Men det var den antagelsen om at f(x) = M som jeg var litt redd for, men virker jo logisk at det er den funksjonen som gir størst integral/areal i hvert tilfelle...