Kort, liten ting om en separable differensiallikning

[chrtsta]

Sitter her litt sliten på lesesalen, så virker ikke som jeg tenker helt klart. Gitt den separable diff.likningen [tex]\frac{dy}{dx} - y^2 = 1[/tex]
får jeg løsningen [tex]arctan (y) = x[/tex].
Kan noen bekrefte at dette er riktig? Er spesielt usikker på med tanke på variabelnavnene. Er det [tex]y = arctan (x)[/tex] som er mer riktig kanskje? Det virker jo som at det er det siste som er det korrekte, som jeg da kan sette rett inn i den første likningen, men får det ikke til å stemme i utregningen min. Om det er ønskelig kan jeg skrive inn utregningen her.

[chrtsta]

På innlegget over fulgte jeg en liten guide her fra matematikk.net. Jeg klarer ikke bekrefte svaret jeg fikk, ved regning.
Etter dette fant jeg en annen løsningsform fra et kompendium fra kurset Mat1001 ved UiO som jeg fulgte og kom opp med løsningen [tex]y = \sqrt[3]{-\frac{x}{3}+C}[/tex]. Denne ser ut til å stemme ut ifra diff. likningen som ble gitt. Med initialverdien [tex]y(0) = 1[/tex] får man [tex]C = 1[/tex] og videre den spesielle løsningen [tex]y = \sqrt[3]{-\frac{x}{3}+1}[/tex].

For de som vil se på dette kompendiet ligger denne på kurssiden til Mat1001, med den direkte urlen http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... ndium3.pdf

[FredrikM]

[tex]\frac{dy}{dx} - y^2 = 1 = y^,=1+y^2[/tex]

Deler på begge sider:

[tex]\frac{y^,}{1+y^2}=1[/tex]

og så har vi den på den formen vi vil. Vi integrerer høyre- og venstresiden hver for seg:

[tex]\int \frac{y^,(x)}{1+y^2(x)} dx = \int \frac{1}{1+y^2(x)} dy = \arctan{(y)} + C_1[/tex]

Og høyresiden:
[tex]\int 1 dx = x+C_2[/tex]

Setter dem like:
[tex]\arctan{(y)} = x + C \\ y = \tan(x+C)[/tex]

[chrtsta]

Tydeligvis var jeg for sliten til å se at svaret lå rett fremfor nesa mi. [tex]arcsin y = x + C[/tex] blir selvfølgelig [tex]y = tan(x)+C[/tex] og med initialverdien gitt overnfor får jeg [tex]y = tan(x) + 1[/tex].

Nå går oppgaven videre til at jeg skal løse diff. likningen på forskjellige måter, og vi starter med eulers metode. I kompendiet fra kurset står det at jeg finner verdiene slik: [tex]x_{k+1} = x_k + h f(t_k , x_k)[/tex], hvor h er stegverdien. Spørsmålet er nå at jeg jo ikke har to verdier til høyre i [tex]\frac{dy}{dx} = 1+y^2[/tex]. Noen som har en kommentar til dette?

[chrtsta]

Ok, tabbe av meg at C-verdien skulle stå inni, men det spiller ikke store rollen i forhold til resten av oppgaven.

[FredrikM]

At du ikke har to verdier gjør jo bare Eulers metode ti ganger enklere.

Vi har at [tex]y^,=f(x,y)=f(y)=1+y^2[/tex].

[tex]x_{k+1} = x_k + h\cdot f(t,x) = x_k + h\cdot f(x) [/tex]

Og så er det bare å ta et steg om gangen Eller eventuelt programmere det.

[chrtsta]

Genialt )
Programmerer dette enkelt i python, men må si det ikke var veldig nøyaktig med h=0.1, men er det det de har gitt i oppgaven, så skal de jaggu meg få det også ;o) Takk for all hjelp!

[hoaxed]

Jeg ser jo tydelig hva f(y) men hva i huleste er f(x) her? Er det hele 1+y^2?

[Magnus]

Er vel ikke årets notasjon. Vil vel helst ha

[tex]y_{n+1} = y_n + f(t,y(t)) \cdot h[/tex]

Der y_0 nok er oppgitt og [tex]f(t,y(t)) = 1+y^2[/tex]

[chrtsta]

Her blir [tex]f(y) = 1 + y^2[/tex], mens [tex]f(x) = y[/tex].