Heisann
Sliter litt med en oppgave her. Får oppgitt en funksjon samt de stasjonære punktene, så skal jeg vise hvordan man faktisk finner dem. Skal i tillegg klassifisere dem.
f(x,y) = (x^3 /3) + 4xy^2 - 36x +5
Stasjonære punkter (0,3) , (0,-3) , (6,0) , (-6,0)
Har begynt å derivere frem og tilbake mhp x og y;
f'x = x^2 + 4y^2 - 36
f'y = 8xy
..uten at dette hjelper meg nevneverdig. Får ikke løst noe ligningssett e.l.
Noen kvalifiserte hjelpere her?
På forhånd takk!
Stasjonære punkter i funksjoner med flere variabler
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Stasjonære punkter. Mener du topp- og bunnpunkter? I så fall kan jeg tenkte meg at dette er i punktene der [tex]\frac{\rm{d}f(x,y)}{\rm{d}x}=\frac{\rm{d}f(x,y)}{\rm{d}y}=0[/tex]. Det burde være rimelig lett å finne punkter der dette er tilfellet.
Kan prøve med et lett eksempel:
[tex]f(x,y)=(x+1)^2+(y+1)^2 \\ f(x,y)=x^2+2x+1+y^2+2y+1 \\ \frac{\rm{d}f(x,y)}{\rm{d}x}=2x+2 \\ \frac{\rm{d}f(x,y)}{\rm{d}y}=2y+2 \\ \begin{tabular}{l|c|r} 2y+2=0 & & 2x+2=0 \\ y=-1 & & x=-1 \end{tabular}[/tex]
Vi har altså topp- eller bunnpunkter i alle kombinasjoner av y=-1 og x=-1, som er ett punkt; [tex]f(-1,-1)=0[/tex]. Vi kan nå gjøre undersøkelser for å finne ut om det er et toppunkt eller bunnpunkt. Vi ser at
[tex]\frac{\rm{d}^2f(x,y)}{\rm{d}x^2}=\frac{\rm{d}^2f(x,y)}{\rm{d}y^2}=2[/tex]
Et positivt tall, og punktet [tex](-1,-1,0)[/tex] er et bunnpunkt.
Som sagt, om den deriverte mhp. x eller y har flere løsninger, er alle kombinasjoner av x- og y-verdier ekstremalpunkter.
Vær oppmerksom på at ekstremalpunkter der den andrederiverte har forskjellige fortegn, er "sadelpunkter". Du skjønner det når du ser dem.
Kan prøve med et lett eksempel:
[tex]f(x,y)=(x+1)^2+(y+1)^2 \\ f(x,y)=x^2+2x+1+y^2+2y+1 \\ \frac{\rm{d}f(x,y)}{\rm{d}x}=2x+2 \\ \frac{\rm{d}f(x,y)}{\rm{d}y}=2y+2 \\ \begin{tabular}{l|c|r} 2y+2=0 & & 2x+2=0 \\ y=-1 & & x=-1 \end{tabular}[/tex]
Vi har altså topp- eller bunnpunkter i alle kombinasjoner av y=-1 og x=-1, som er ett punkt; [tex]f(-1,-1)=0[/tex]. Vi kan nå gjøre undersøkelser for å finne ut om det er et toppunkt eller bunnpunkt. Vi ser at
[tex]\frac{\rm{d}^2f(x,y)}{\rm{d}x^2}=\frac{\rm{d}^2f(x,y)}{\rm{d}y^2}=2[/tex]
Et positivt tall, og punktet [tex](-1,-1,0)[/tex] er et bunnpunkt.
Som sagt, om den deriverte mhp. x eller y har flere løsninger, er alle kombinasjoner av x- og y-verdier ekstremalpunkter.
Vær oppmerksom på at ekstremalpunkter der den andrederiverte har forskjellige fortegn, er "sadelpunkter". Du skjønner det når du ser dem.
For klassifisering av de stasjonære punktene:
Sett
A: F'[sub]xx[/sub]
B: F'[sub]xy [/sub]
C: F'[sub]yy[/sub]
Klassifiseringsregla er som følger:
A * C - B^2 > 0 og A > 0 er (x,y) et minimumspkt
A * C - B^2 > 0 og A < 0 er (x,y) et maksimumspkt
A * C - B^2 = 0 Testen funker ikke
A * C - B^2 < 0 er (x,y) et sadelpkt
Sett
A: F'[sub]xx[/sub]
B: F'[sub]xy [/sub]
C: F'[sub]yy[/sub]
Klassifiseringsregla er som følger:
A * C - B^2 > 0 og A > 0 er (x,y) et minimumspkt
A * C - B^2 > 0 og A < 0 er (x,y) et maksimumspkt
A * C - B^2 = 0 Testen funker ikke
A * C - B^2 < 0 er (x,y) et sadelpkt
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]