Oppgave 2
En familie av funksjoner er gitt ved
x2 − 2x + ky2 − 4ky + 3k + 1 = 0 , (1)
hvor k er en positiv konstant.
a) Formelen for en elipse er gitt ved
(x − x0)2
a2 +
(y − y0)2
b2 = 1 ,
der a og b er positive konstanter.
Vis at familien av funksjoner i ligning (1) beskriver en ellipse med x0 = 1,
y0 = 2, a =
√
k og b = 1.
b) Vis, ved implisitt derivasjon av ligning (1), at den deriverte dy
dx er gitt
ved
dy
dx
=
1 − x
k(y − 2) .
c) For hvilke verdier av x har familien av funksjoner fra ligning (1) horisontale
tangentlinjer?
d) Vis at familien av funksjoner har vertikal tangentlinje i x = 1+
√
k og i
x = 1−
√
k. (Hint: Sett den deriverte lik 1/e og bruk grenseverdier.)
TAKK
