Hvordan går man fram for å løse slike problem?
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \int_{n}^{n+1} \frac{1}{1+x^2}dx[/tex]
Svaret skal blir [tex]\frac{\pi}{2}[/tex].
Integral og rekke
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Bogfjellmo
- Cantor
- Innlegg: 142
- Registrert: 29/10-2007 22:02
Eventuelt være litt lur. Forsøk å skriv ut et par ledd av summen (uten å evaluere integralet), og se om du kan skrive summen på en enklere måte.
Takk, forstod det nå. Alle leddene utenom det første og siste kan elimineres.
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{k} \int_{n}^{n+1} \frac{1}{1+x^2}dx = (\arctan \ 1 -\arctan \ 0) + (\arctan \ 2-\arctan \ 1) + ... + (\arctan \ (k+1)-\arctan \ k) = \arctan \ (k+1) -\arctan \ 0 \\ \lim_{k\to\infty}\ \arctan(k+1) = \frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{k} \int_{n}^{n+1} \frac{1}{1+x^2}dx = (\arctan \ 1 -\arctan \ 0) + (\arctan \ 2-\arctan \ 1) + ... + (\arctan \ (k+1)-\arctan \ k) = \arctan \ (k+1) -\arctan \ 0 \\ \lim_{k\to\infty}\ \arctan(k+1) = \frac{\pi}{2}[/tex]