Virker delbrøkoppspalting kun med polynomer, eller også med andre funksjoner?
Kan man for eksempel delbrøkoppspalte [tex]\frac{1}{\left(\cos(x)+\sin(x)\right)\left(cos(x)-sin(x)\right)}[/tex] ?
Delbrøkoppspalting
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Er vel bare å prøve vel. Eksperimenter litt. Det kan være vanskelig å finne generelle "regler" for det. Se for deg hva som du synes ville vært den mest naturlige formen, og sjekk om det er mulig å uttrykke dem slik.
F.eks ville en optimistisk kandidat være [tex]\frac{a}{\cos x+\sin x}+\frac{b}{\cos x-\sin x}[/tex]
En mer pessimistisk en ville være [tex]\frac{a\cos x+b\sin x}{\cos x+\sin x}+\frac{c\cos x+d\sin x}{\cos x-\sin x}[/tex] hvis den første ikke fungerer.
Ellers bør du lete etter symmetri i det du prøve på. (Dette gjelder i alle sammenhenger) Den åpenbare symmetrien i uttrykket ditt er å gange ut:
[tex]\frac{1}{(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}=\frac{1}{\cos^2x-\sin^2x}[/tex] Siden dette er trigonometriske funksjoner bør du automatisk tenke på identiteter. Du bør gjenkjenne identiteten til [tex]\cos 2x[/tex], og du får at uttrykket er lik [tex]\frac{1}{\cos{2x}}[/tex] som kan hjelpe stort om f.eks målet ditt var å integrere det. (Du finner integralet overalt på denne siden).
En annen metode for å lete etter symmetri vil være å dele på [tex]\frac{1}{\cos^2x}[/tex]:
[tex]\frac{1}{(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}=\frac{\frac{1}{\cos^2x}}{(1 +\tan x)(1-\tan x)}=\frac{\tan^2x+1}{(1 +\tan x)(1-\tan x)}[/tex] som øyeblikkelig gir deg et uttrykk du kan enkelt polynomdividere og deretter delbrøkoppspalte.
F.eks ville en optimistisk kandidat være [tex]\frac{a}{\cos x+\sin x}+\frac{b}{\cos x-\sin x}[/tex]
En mer pessimistisk en ville være [tex]\frac{a\cos x+b\sin x}{\cos x+\sin x}+\frac{c\cos x+d\sin x}{\cos x-\sin x}[/tex] hvis den første ikke fungerer.
Ellers bør du lete etter symmetri i det du prøve på. (Dette gjelder i alle sammenhenger) Den åpenbare symmetrien i uttrykket ditt er å gange ut:
[tex]\frac{1}{(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}=\frac{1}{\cos^2x-\sin^2x}[/tex] Siden dette er trigonometriske funksjoner bør du automatisk tenke på identiteter. Du bør gjenkjenne identiteten til [tex]\cos 2x[/tex], og du får at uttrykket er lik [tex]\frac{1}{\cos{2x}}[/tex] som kan hjelpe stort om f.eks målet ditt var å integrere det. (Du finner integralet overalt på denne siden).
En annen metode for å lete etter symmetri vil være å dele på [tex]\frac{1}{\cos^2x}[/tex]:
[tex]\frac{1}{(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}=\frac{\frac{1}{\cos^2x}}{(1 +\tan x)(1-\tan x)}=\frac{\tan^2x+1}{(1 +\tan x)(1-\tan x)}[/tex] som øyeblikkelig gir deg et uttrykk du kan enkelt polynomdividere og deretter delbrøkoppspalte.
Fikk faktorisert det til
[tex]\frac{1}{\cos^2x-\sin^2x}=\frac{cos\,x}{cos\,x+sin\,x}+\frac{\sin\,x}{\cos\,x-\sin\,x}[/tex]
med "pessimist"-metoden din. :p
"Optimist" metoden hadde jeg allerede prøvd og feilet på.
[tex]\frac{1}{\cos^2x-\sin^2x}=\frac{cos\,x}{cos\,x+sin\,x}+\frac{\sin\,x}{\cos\,x-\sin\,x}[/tex]
med "pessimist"-metoden din. :p
"Optimist" metoden hadde jeg allerede prøvd og feilet på.